作成中]中学受験】容積・水の問題の解き方は?【傾けたり物を沈めたり

中学受験を目指す小学4年生で「水そうの問題がよく分からない」応用問題を解きたい」という方、お任せ下さい。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」がわかりやすく説明します。

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水量の求め方

中学受験では主に4年で立方体直方体の単元で一緒に学習します。

水の量

公式

直方体の容器に入った水の量は「四角柱」の体積の求め方と同じです。

ただ言葉を少し変えて…四角柱の体積は「底面積×高さ」でしたが水の量では「底面積×深さ」にします。

図1:水量の公式A

柱の体積と同じ考え方

「底面積」「深さ」と合わせて「水量の公式」とします

水量の公式

水量=底面積×深さ

深さ=水量÷底面積

底面積=水量÷深さ

水の量の単位

水そうの問題では水量を表すのに「L(リットル)」を使うことがあるので、「cm3」と「L」の関係を思い出しておく。

Lとcm3

1L=1000cm3

(例)12L=12000cm3

1dL=100cm3

(例)6dL=600cm3

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

底面40cm×60cmの水そうに30cmの深さまで水を入れると何Lか
→( 水量=底面積×高さ=40×60×30=72000cm3=72L )

一辺30cmの立方体に18Lの水を入れたときの深さ
→( 底面積30×30=900、水量=18L=18000cm3なので、深さ=18000÷900=20cm )

横の長さが15cmで、7.2Lの水を入れると深さが40cmになる水そうのたての長さ→( 7.2L=7200cm3、底面積=7200÷40=180cm2、たて=180÷15=12cm )

容積

厚みを考える

容器などの中に入る体積を「容積」といいますが、上の水量と同じで求め方は立方体直方体の体積と変わりません。

ただ、容器には厚みがあるので、外側から計った寸法(外寸)と内側から測った寸法(内寸)が異なります。そして容積の計算には内寸を使わないといけません。

例えば、図のような容器があった場合、外寸は「 cm× cm× cm」ですが、内寸は厚みの1cm(または2つ分2cm)小さくしないといけないので、

((図))

内寸は「 cm× cm× cm」になるので、容積は になります。

容積の求め方

❶外側から計った寸法(外寸)と容器の厚みから、内側から測った寸法(内寸)を求める。

❷内寸を使って、「たて×横×高さ」を計算する。

容器自体(材料)の体積を求める

→「外のり」の体積ー「内のり」の体積

 

水の深さの問題

基本問題

水量→深さ・底面積

 

深さ・底面積→水量

 

水を移す問題

全部移す

ある容器に入った水を別の容器に移す問題→水の量が変化しないことに注目して解く

 

一部を移す

別の容器に移した水と元の容器に残った水の高さが同じになった場合
→2つがつながった容器(底面積も和になる)を考えて、まず移転後の高さを出してしまう。

 

モノを沈める(水没)問題

水没問題

◆全水没(モノが水面から出ていない場合)

(公式)
物の体積=水そうの底面積×増えた深さ

◆半水没(モノが水面から出ている場合)

(公式A)
水そうの底面積×もとの深さ
=(水そうの底面積-物の底面積)×あとの深さ

(公式B)
物の底面積×もとの深さ
=(水そうの底面積-物の底面積)×増えた深さ

水そうにモノを沈める問題で、難しい問題が多いです。

まず2つの場合に分けます。

2つに場合分け

全部水没する場合=全水没

物体が水の中に完全に隠れる場合で、簡単な問題が多いです。

一部水没する場合=半水没

物体の一部が水面より上に出ている場合で、難しい問題もあります。

(図)

どちらか分からない場合

分からない場合は「半水没」のつもりで計算し、水の深さが物体の高さを越えたら、全水没として計算し直します(汗)

全水没の問題

例題

図1:

説明書き

もとの深さよりも増えた部分は、沈めたものの体積と等しくなります(斜線の部分)

公式化

「物の体積=水そうの底面積×増えた深さ」

計算の工夫

3つの数字のかけ算は計算せずに、かけ算の形のままにしておいて、?を使った逆算を作り、最後に分数にして約分します。

 

確認テスト

 

半水没の問題

半水没は考え方が2つあります。「比」を使う前は「A」しか使えないことが多い。「比」を習った後は「B」を使うのが簡単な事が多い。

考え方A

例題

図1:

水そうの底面積が分かっている場合は
こちらの考え方を使う

水の体積(斜線)が変わらないことを利用します。

 

公式A

水そうの底面積×もとの深さ=(水そうの底面積-物の底面積)×あとの深さ

水そうの底面積が分かっている場合は、こちらの公式が良い

確認テスト

 

考え方B

図1:

沈めるモノの底面積が分かっている
場合は、こちらの考え方で。

斜線部分の体積が等しいことを利用する。

公式B

物の底面積×もとの深さ=(水そうの底面積-物の底面積)×増えた深さ

物の底面積が分かっている場合は、こちらの方が良い

確認テスト

 

状態変化の問題

半水没→全水没

水面の上に出ている部分を切り取って、水そうに沈めるイメージで解きます。

(図)

「全水没」の考え方で「ふえた深さ」を出す。

はじめに水面より上に出ていた部分の体積=(水そうの底面積-物の底面積)×増えた深さ

確認テスト

 

全水没→半水没

水を全部取り出してから物を立てて、そこに水を流し込むイメージで解きます。

(図)

水の体積を出しておいて、「半水没の公式A」の考え方を使って「あとの深さ」を出す。

水の体積=(水そうの底面積-物の底面積)×あとの深さ

確認テスト

容器自体(材料)の体積を求める

→「外のり」の体積ー「内のり」の体積

複雑な形

求め方

L字型などの容器に入った水の高さを求める場合、水をいくつかの部分に分けてそれぞれ体積を求め、最後に合計する

 

横倒し

水が入ったL字型などの容器を倒したときの水の新たな高さを求める

 

容器を傾けてこぼれる水

容器を傾けてこぼれた水の体積や、残った水の水面と容器が作る図形の問題

傾ける問題の考え方

 

 

側面に出来る図形

 

 

こぼれた水を求める

 

 

側面の形を求める

 

 

 

爽茶そうちゃ
容積(水)の問題は分かりましたか?他にも立/直方体の応用問題があるので「立/直方体のまとめ」から見て下さい。
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