[作成中]直方体・立方体のまとめ

方体の性質

方体の名称

頂点、辺、面

方体の寸法

リボンの問題

 

方体の展開図

方体を展開する

 

展開図の問題

頂点の決定

面の決定

最短距離

サイコロ問題

 

方体の計量

方体の体積

公式を導く

縦横高さがすべて1cmの立方体(図)の体積を1cm3(立方センチメートル)と決めます。この立方体は体積を決める基準になるので「基準立方体」と名付けましょう。

((図))

様々な直方体の体積は、この「基準立方体」を何個含んでいるかで決まります。

たとえば「たて3cm横1cm高さ1cm」の直方体は縦方向に3個の「基準立方体」を含んでいるので、3cm3です。

((図))

また「たて3cm横2cm高さ1cm」の直方体は縦方向に3個、横方向に2個で合計3×2=6個の「基準立方体」を含んでいるので6cm3です。

((図))

「たて3cm横2cm高さ4cm」の直方体は、たて方向に3つ、横方向に2つ、高さ方向に4つで合計で324=24個の「基準立方体」を含んでいるので、体積は24cm3になります。

この理屈は縦横高さが小数になっても変わらないので、結局直方体の体積は単純に「たて×横×高さ」で決まります。

直方体の体積

たてAcm横Bcm高さCcmの直方体の体積は(A×B×C) cm3
((図))

立方体の場合は、たて・横・高さが同じなので、「たて×横×高さ」を「一辺×一辺×一辺」と表現します。
立方体の体積

一辺Acmの立方体の体積は (A×A×A) cm3
((図))

確認テスト

方体の表面積

公式を導く

「表面積」というのは、立体の「展開図」の面積と同じです。

上の方で学習したやり方で「たて3cm横2cm高さ4cm」直方体の展開図をもう一度書くとこうなります。

((図))

この展開図に長さを書き込んでみると、それぞれの長方形の面積が分かります。

((図))

この展開図は3種類の長方形が2つずつあります。2*3のX、3*4のY、2*4のZ ので

((図))

よって合計の面積を出す計算はこうなります。

{(2×3)×2}+{(3×4)×2}+{(2×4)×2}

これをまとめたものがテキストでは公式として載っています。

{(2×3)+(3×4)+(2×4)}×2

直方体の表面積

たてAcm横Bcm高さCcmの直方体の表面積は{(A×B)+(A×C)+(B×C)}×2 cm2
((図))

立方体の場合は、同じ形の正方形が6個あるので表現が少し変わります。
((展開図))
立方体の体積

一辺Acmの立方体の表面積は(A×A)×6 cm2
((図))

 

確認テスト

 

容積

容積の求め方

容器などの中に入る体積を「容積」といいますが、求め方は体積と変わりません。

ただ、容器には厚みがあるので、外側から計った寸法(外寸)と内側から測った寸法(内寸)が異なります。そして容積の計算には内寸を使わないといけません。

例えば、図のような容器があった場合、外寸は「 cm× cm× cm」ですが、内寸は厚みの1cm(または2つ分2cm)小さくしないといけないので、

((図))

内寸は「 cm× cm× cm」になるので、容積は になります。

容積の求め方

❶外側から計った寸法(外寸)と容器の厚みから、内側から測った寸法(内寸)を求める。
❷内寸を使って、「たて×横×高さ」を計算する。

 

水量を求める

 

モノを沈める

 

容器自体(材料)の体積を求める

→「外のり」の体積ー「内のり」の体積

詳しくは関連記事「容積の求め方は?」を見て下さい。

方体の組み合わせ(複合体)

柱状の複合体

たてが同じ直方体や高さが同じ直方体を組み合わせた立体図形です

((図))

このような立体はいくつかの直方体に分けて体積を出して合計して出すのが簡単です。

((図))

例の場合は、になります。

角が欠けた方体

豆腐の端っこをつまんだように、角(かど)が欠けた直方体です。

((図))

欠けた部分も直方体なので、角が欠けていない状態の立方体から欠けた部分の体積を引くのが簡単です。

例の場合は、 になります。

その他の複合体

角が柱状に欠けた方体

先程の2つのタイプを組み合わせたような問題です。

角が欠けた柱状の複合体

これも組み合わせです。

 

階段状の立体

例えば図1のような立体です(階段のように見えます)。同じものをもう一つ準備して組み合わせると直方体になります(図2)。

((図))

直方体の体積を÷2すると、元の階段状の体積が出ます。

 

立方体の集まり(立方集合体)

個数問題

定まっている場合

 

定まっていない場合

 

体積・表面積

 

色塗り

 

くり抜き

 

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