[作成中]直方体・立方体のまとめ

方体の性質

方体の名称

立方体

 

直方体

頂点、辺、面

 

方体の寸法

三つの長さ

たて・よこ・高さを持つ

立方体はたて・よこ・高さが同じ(一辺と表現)

リボンの問題

立方体の場合

使ったリボンの長さは「一辺の長さ」8個と「結び目に使う長さ」の合計。

例えば、20cmの立方体に結び目50cmでリボンを巻くと、必要な長さは？
→20×8+50=210cm

確認テスト1
30cmの立方体に330cmのリボンを巻く時、結び目に使う長さは何cmか？
→330-(30×8)=90cm

確認テスト2
立方体に270cｍのリボンを巻いて結んだところ、結び目の長さが70cmになった。この立方体の一辺は何cmか？
→(270-70)÷8=25cm

直方体の場合

直方体は三種類の長さがあるので、それぞれの長さを何回使ったかを数えます。

使ったリボンの長さは「たて」2個、「よこ」2個、「高さ」4個と「結び目に使う長さ」の合計と分かります。

あとは立方体と同じように考えます。

例えば、たて cmよこ cm高さ cmの直方体に結び目 cmでリボンを巻くと、必要な長さは？
→ cm

確認テスト1
たて cmよこ cm高さ cmの直方体に cmのリボンを巻く時、結び目に使う長さは何cmか？
→ cm

確認テスト2
たて cmよこ cm高さ cmの直方体に cｍのリボンを巻いて結んだところ、結び目の長さが cmになった。この直方体の高さは何cmか？
→ cm

方体の展開図

方体を展開する

立方体

サイコロなど、身近なものを分解するのをイメージすると分かりやすい。

サイコロの目が6個あるので6面に分解できると分かる。

いろいろな展開の方法があるが、基本はこれ。

直方体

6個の面に「前」「上」などの文字が書いてあるつもりで展開する

展開図の問題

頂点の決定

イメージして決めるのが難しい場合、いくつかのルールを組み合わせて考える

①対岸の火事➁2面の対角線➂ぐるっと一周

面の決定

 

最短距離

展開図上で直線で結んだ距離が最短距離になります。

 

サイコロ問題

サイコロを転がして、目に関する質問に答える。

 

方体の計量

方体の体積

公式を導く

縦横高さがすべて1cmの立方体(図)の体積を1cm³(立方センチメートル)と決めます。この立方体は体積を決める基準になるので「基準立方体」と名付けましょう。

((図))

様々な直方体の体積は、この「基準立方体」を何個含んでいるかで決まります。

たとえば「たて3cm横1cm高さ1cm」の直方体は縦方向に3個の「基準立方体」を含んでいるので、3cm³です。

((図))

また「たて3cm横2cm高さ1cm」の直方体は縦方向に3個、横方向に2個で合計3×2=6個の「基準立方体」を含んでいるので6cm³です。

((図))

「たて3cm横2cm高さ4cm」の直方体は、たて方向に3つ、横方向に2つ、高さ方向に4つで合計で324=24個の「基準立方体」を含んでいるので、体積は24cm³になります。

この理屈は縦横高さが小数になっても変わらないので、結局直方体の体積は単純に「たて×横×高さ」で決まります。

方体の表面積

公式を導く

「表面積」というのは、立体の「展開図」の面積と同じです。

上の方で学習したやり方で「たて3cm横2cm高さ4cm」直方体の展開図をもう一度書くとこうなります。

((図))

この展開図に長さを書き込んでみると、それぞれの長方形の面積が分かります。

((図))

この展開図は3種類の長方形が2つずつあります。2*3のX、3*4のY、2*4のZ　ので

((図))

よって合計の面積を出す計算はこうなります。

{(2×3)×2}+{(3×4)×2}+{(2×4)×2}

これをまとめたものがテキストでは公式として載っています。

{(2×3)+(3×4)+(2×4)}×2

 

確認テスト

 

容積

容積の求め方

容器などの中に入る体積を「容積」といいますが、求め方は体積と変わりません。

ただ、容器には厚みがあるので、外側から計った寸法(外寸)と内側から測った寸法(内寸)が異なります。そして容積の計算には内寸を使わないといけません。

例えば、図のような容器があった場合、外寸は「　cm×　cm×　cm」ですが、内寸は厚みの1cm(または2つ分2cm)小さくしないといけないので、

((図))

内寸は「　cm×　cm×　cm」になるので、容積は　になります。

 

水量を求める

 

モノを沈める

 

容器自体(材料)の体積を求める

→「外のり」の体積ー「内のり」の体積

詳しくは関連記事「容積の求め方は？」を見て下さい。

方体の組み合わせ(複合体)

柱状の複合体

たてが同じ直方体や高さが同じ直方体を組み合わせた立体図形です

((図))

このような立体はいくつかの直方体に分けて体積を出して合計して出すのが簡単です。

((図))

例の場合は、になります。

角が欠けた方体

豆腐の端っこをつまんだように、角(かど)が欠けた直方体です。

((図))

欠けた部分も直方体なので、角が欠けていない状態の立方体から欠けた部分の体積を引くのが簡単です。

例の場合は、　になります。

その他の複合体

角が柱状に欠けた方体

先程の2つのタイプを組み合わせたような問題です。

((図))

欠けていないと仮定した全体の体積(A)から欠けた柱状部分の体積(B)を引きます。

((図))

角が欠けた柱状の複合体

これも組み合わせです。

 

階段状の立体

例えば図1のような立体です(階段のように見えます)。同じものをもう一つ準備して組み合わせると直方体になります(図2)。

((図))

直方体の体積を÷2すると、元の階段状の体積が出ます。

 

立方体の集まり(立方集合体)

個数問題

定まっている場合

見取り図から立方体の個数を出すような問題です。

((図))

イメージできない場合は、階層(1F,2F,3F…)ごとの上面図を書いて数えます。

定まっていない場合

 

体積・表面積

 

色塗り

 

くり抜き

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