中学受験】図形の回転移動の問題【頂点・辺の動く距離・軌跡の面積の応用まで

Aが動いた跡は半径2cmの円周になる

よって長さは 2x2x3.14=12.56cm になる

Aが動いた跡は半径2cm中心角90度のおうぎ形の弧になる

よって長さは2x2x3.14x90360=3.14cmになる

点BがAを中心にして円を描くので

線分ABが回転した跡(軌跡)はAを中心にした半径3cmの円になる

よって面積は 3x3x3.14=28.26cm² と分かる。

点BがAを中心にして60°の弧を描くので

線ABの回転の跡(軌跡)はAを中心にした半径3cm中心角60°のおうぎ形になる

よって面積は 3x3x3.14x60360=1.5×3.14=4.71cm² と分かる。

AとBがCを中心に回転するとAは半径1cmの円を、Bは半径2cmの円を描くので

回転の跡(軌跡)は線分CBが360°回転したのと等しく半径2cmの円になる

よって面積は2x2x3.14=12.56cm² と分かる

AとBがCを中心に90°回転するので

線分CAと線分CBが中心角90°半径1cmと2cmのおうぎ形を作る

面積は (1x1x3.14x90360)+(2x2x3.14x90360)=1.25×3.14=3.925cm² と分かります♪

AとBがDを中心に1回転し、Aは半径1cmの円を、Bは半径4cmの円を描くので

回転の跡(軌跡)は半径4cmの円から半径1cmの円を引いた「ドーナツ形」になり

面積は (4x4x3.14)ー(1x1x3.14)=(16-1)x3.14=15×3.14=47.1cm² になる。

Dを中心にAとBは中心角90°半径1cmと4cmの弧を描く

2つの弧に挟まれた部分が回転の跡(軌跡)で、中心角90°内側の半径1cm外側の半径4cmの「バームクーヘン形」になるので

面積は (4x4x3.14x90360)ー(1x1x3.14x90360)=154x3.14=3.75×3.14=11.775cm² と求められる♪

回転する前にOABは直角三角形を作りOBの長さが5cmになることを確認(3-4-5の整数直角三角形)

Oを中心にABを回転させると、Oに一番近い点Aは半径3cm、一番遠い点Bは半径5cmの円を描く

線分ABが移動した跡(軌跡)は2つの円に挟まれた「ドーナツ形」になる

よって面積は (5x5x3.14)-(3x3x3.14)=(25-9)x3.14=16×3.14=50.24cm² になる♪

AとBを90°回転させて移った点をA’とB’とすると

線分AB,弧BB’,A’B’,弧AA’に囲まれた範囲が移動した跡になる。

この形の上の部分は同じ形が左下にも出来ているので、移動すると…

内側の半径3cm,外側の半径5cm,中心角90°の「バームクーヘン形」になる。

よって面積は (5x5x3.14x90360)-(3x3x3.14x90360)=(254–94)x3.14=4×3.14=12.56cm² と求められる♪

3cmはCからABに向かって直角に引いた線がABと交わる点(直角マークの所)Dとの距離で、Dは直線ABでCから一番近い箇所です。

Cは点Bとの距離は5cmで線分ABとの距離が3cmです。線との距離は直角に測ります。直角マークに注目

Cを中心にABを回転させると…回転の軌跡(色がついた部分)はドーナツ型で、外側の円は半径5cm、内側の円は半径3cmになっています。

半径5cmがCBの長さで、半径3cmは線ABと点Cとの距離です。

3cmはCからABに向かって直角に引いた線がABと交わる点(直角マークの所)Dとの距離で、Dは直線ABでCから一番近い箇所です。

一方5cmは直線ABでCから一番遠いBとの距離で、CとAの距離は重要ではありません。

つまり、このドーナツ型は直線ABの中で回転の中心から一番近い点Dと一番遠い点Bを回転させて作られるのです。

そして軌跡の面積は(5×5×3.14)-(3×3×3.14)=(25-9)×3.14=50.24cm²と分かります♪

ABCの頂角は180-65×2=50°。また回転移動で形は変わらないのでA’B’Cも同じ二等辺三角形になる(ここで、きちんと等長マークをつけておく)。

そして26°回転させたので∠B’CBと∠ACA’も26°

ここまでで、ア=65-26=39°と求められる。

次に△CAA’に注目すると頂角26°の二等辺三角形なので

底角は(180-26)÷2=77°なので、イ=77-50=27°と求められる

これは「点の回転」と同じで動いた跡(軌跡)は円や弧になる

この場合、半径5cm中心角90°の弧になるので、その長さは 5x2x3.14x90360=2.5×3.14=7.85cm と求められる♪

辺の回転は「線の回転」と同じで、この場合は線の端を中心に回転するので、軌跡は半径5cm中心角90°のおうぎ形になる

よって面積は 5x5x3.14x90360=254x3.14=6.25×3.14=19.625cm² と求められる♪

これも辺の軌跡だが、中心の回転が辺(の延長線)上にないので軌跡は少し複雑(辺AB、弧BB’、辺A’B’、弧AA’に囲まれた部分)になるが…

上の部分を左下に移すと、内側の半径3cm,外側の半径5cm,中心角90°の「バームクーヘン形」になる

よって面積は (5x5x3.14x90360)- (3x3x3.14x90360)=4×3.14=12.56cm² と求められる。

ABC全体が動いた跡を想像すると、こうなる

これは元の三角形ABC(面積3×4÷2=6)と90°のおうぎ形(これは(2)の答え:19.625そのまま)をあわせたものなので、面積は 6+19.625=25.625cm² と求められる♪

折れ線CABが動いた跡と同様に考えると、こうなる

これは半径5cm中心角90°のおうぎ形に長方形の半分を足して、半分を引いた形なので、面積はおうぎ形と等しくなる

このおうぎ形の面積は(2)で求めたのと同じく 5x5x3.14x90360=19.625cm²になる

対角線が13cmなので、3辺が5cm,12cm,13cmの直角三角形ABCを90°回転させたのと似ている

辺ABの回転移動はした跡は下図のような、辺AB,弧BB’,辺B’A’,弧A’Aに囲まれた形になる。

この形の左端(対角線CAで左に切り落とされる部分)を右上に移すと、外径13cm,内径12cmの「ドーナツ形」になる

よって面積は (13x13x3.14x14)-(12x12x3.14x14)=(13×13-12×12)x3.14x14=254x3.14=6.25×3.14=19.625cm² と求められる

長方形全体が動いた跡は図のようになる

この形は対角線で半分にされた長方形が2個(つまり長方形1個分)と半径13cmの四半円の合計になっている。

よって面積は (12×5)+(13x13x3.14x14)=60+(42.25×3.14)=60+132.665=192.665cm² と求められる

折れ線の回転移動と同じでこうなる

この形は半径13cmの四半円から長方形の半分を引いて、長方形の半分を足したもの、つまり四半円そのものになる

この四半円は(2)の途中計算でと求めてある(132.665cm²)ので、それを答えにすれば良い♪

Aを中心に90度回転させると、直径ABが90度回転したAB’を直径とする円ができる

円全体が移動した跡は図のようになる

これは半径2cmの半円が2つ(つまり半径2cmの円が1つ)と半径4cmの四半円が1つの合計なので、面積は

(2x2x3.14)+(4x4x3.14x14)=(4+4)x3.14=8×3.14=25.12cm²

となる。

弧AB(円の上半分)が移動した跡はこうなる(斜線部)

斜線部の面積を直接求めるのは無理なので、足し引きで出すことを考えると…

半円＋四半円から半円を引けば良いと気づく(よね？)

結局、半径4cmの四半円と同じなので、面積は4x4x3.14x14=4×3.14=12.56cm²

になる

Aを中心に60度回転させると、直径ABが60度回転したAB’を直径とする半円ができる

この半円全体が移動した跡は図のようになる

この跡は半径6cmの半円と半径6cm中心角60度のおうぎ形の合計なので、面積は

(6x6x3.14x16)+(6x6x3.14x12)=(6+18)x3.14=24×3.14=75.36cm²

となる。

弧ABが移動した跡はこうなる(斜線部)

斜線部の面積を直接求めるのは無理なので、足し引きで出すことを考えると…

半径3cmの半円＋半径6cmのおうぎ形から半径3cmの半円を引けば良いと気づく(よね？)

結局、半径6cm中心角60度のおうぎ形と同じなので、面積は6x6x3.14x60360=6×3.14=18.84cm²

になる

半円が移動すると、AとBが回転移動したA’B’を直径とする半円になる。

このとき半円全体が移動した跡は下図のようになる

これは半径3cmの半円と「内側の半径が6cm,外側の半径が12cm,中心角が60°のバームクーヘン」の合計だから

(3x3x3.14÷2)+{(12x12x3.14-6x6x3.14)x60360}
=4.5x3.14+18×3.14=22.5×3.14=70.65cm²

となる。

弧ABが移動した跡は下図のようになり

この面積は( 上に突き出た半円を下のへこみに移すと)上で出したバームクーヘンそのものになるので、

その面積は

(12x12x3.14-6x6x3.14)x60360=18×3.14=56.52cm²

になります。