[作成中]中学受験】図形の回転移動【頂点・辺の動く距離・軌跡

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回転移動とは

線の回転移動

長さを保ったまま向きを変えることを「回転移動」と呼ぶ

回転移動をするには「回転の中心」と「回転の角度」を決めないといけません。

中心の位置を色々と変えて考えてみます。

回転中心が線(の延長)上にある場合

回転の中心が端にある

例:3cmの長さの線分ABをBを中心に360°回転する

回転の様子は簡単に想像できるでしょう。

((GIF動画))

点AがBを中心にして360°回転するのが分かります。

回転の跡(軌跡)はBを中心にした半径3cmの円になるので、面積は　です。

回転の中心が途中にある

例:3cmの長さの線分AB上の点C(Bから1cm)を中心に360°回転する

回転の様子は想像できますか？

((線の回転のGIF動画))

AとBがCを中心に回転しています。

((点のみ回転のGIF動画))

Aは半径2cmの円を、Bは半径1cmの円を描くので、回転の跡(軌跡)はCを中心にした半径2cmの円になり、面積は　です。

線の延長線上にある場合

例:3cmの長さの線分ABがABの延長線上の点C(Bから1cm)を中心に360°回転する

回転の様子は想像できますか？

((線の回転のGIF動画))

AとBがCを中心に回転しています。

((点のみ回転のGIF動画))

Aは半径4cmの円を、Bは半径1cmの円を描き、回転の跡(軌跡)は「ドーナツ」型になります。

この「ドーナツ」型は半径4cmの円から半径1cmの円を引いたもので、面積は　です。

角度が360°でない場合

軌跡は扇形になります。

回転中心が線(の延長)上にない場合

この場合が一番難しく、問題として聞かれます。

5-1:(線の回転移動その2)

図のような6cmの長さの線分ABが点Cを中心に360°回転する時の軌跡の面積を求めよ。

Cは点Bとの距離は5cmで線分ABとの距離が3cmです。線との距離は直角に測ります。直角マークに注目

Cを中心にABを回転させると…回転の軌跡(色がついた部分)はドーナツ型で、外側の円は半径5cm、内側の円は半径3cmになっています。

線分ABを回転させた軌跡

ドーナツ型が出来た

半径5cmがCBの長さで、半径3cmは線ABと点Cとの距離です。

軌跡の成り立ち

Cから一番近い点Dと
一番遠い点Bを回転させて
囲まれたドーナツ型で
点Aは埋もれている

3cmはCからABに向かって直角に引いた線がABと交わる点(直角マークの所)Dとの距離で、Dは直線ABでCから一番近い箇所です。

一方5cmは直線ABでCから一番遠いBとの距離で、CとAの距離は重要ではありません。

つまり、このドーナツ型は直線ABの中で回転の中心から一番近い点Dと一番遠い点Bを回転させて作られるのです。

そして軌跡の面積は(5×5×3.14)-(3×3×3.14)=(25-9)×3.14=50.24cm²になります。

このように、回転の中心が直線(の延長線)上にない場合は、回転の中心から一番近い点と一番遠い点を回転させれば軌跡が分かります。

直線の回転(中心が直線(の延長線)上にない)

→回転の中心から一番遠い点と一番近い点を
回転させて、囲まれた部分が軌跡になる。