中学受験図形】円おうぎ形の転がり移動【中心の動く距離・軌跡の面積

地面に垂直に立った線を6cm動かして、垂直に立った線の真ん中の点(円の中心)が動いた長さを見る

この場合は6cmになると分かる(長方形の対辺)

円全体が動いた跡は図のようになる

これは半径1cmの半円2つ(つまり円1つ)と縦2cm横6cmの長方形の和なので、面積は

(1x1x3.14)+(2×6)=3.14+12=15.14cm²

と分かる

中心は半径4cmの円の円周と平行に半径6cmの円を描く

したがって、動いた線の長さは 6x2x3.14=12×3.14=37.68cm になる

円全体が動いた跡は、内側の半径(内径)4cmで外側の半径(外径)8cmの「ドーナツ形」になる

したがって、面積は (8x8x3.14)-(4x4x3.14)=(64-16)x3.14=48×3.14=150.72cm² になる

中心が描く円の半径は 8-2=6cm になるので

動いた跡(軌跡)の長さは 6x2x3.14=37.68cm になる

円全体が動いた跡は、内側の半径(内径)4cmで外側の半径(外径)8cmの「ドーナツ形」になる

したがって、面積は (8x8x3.14)-(4x4x3.14)=(64-16)x3.14=48×3.14=150.72cm² になる

円Bの面積8x8x3.14=200.96cm²から(2)の答え150.72cm²を引いても良いが、通らない部分は「半径4cmの円」という簡単な形なので直接求める方がラクそうと感じる(よね？)

その面積は 4x4x3.14=16×3.14=50.24cm² になる

角に「円の直径と同じ長さの垂直線」を2方向に立てる(テストのときは円を描かなくてもOK♪)。

垂直線の真ん中にある中心を結ぶと円の中心が動いた跡ができる

この長さは、半径1cmの円の14の弧が4つ(つまり半径1cmの円周1つ)と、3cmと4cmの直線が2つずつ の合計なので

長さは (1x2x3.14)+{(4+3)x2}=20.28cm と分かる

カドに立てた2本ずつの垂直線を包むように結ぶと円全体が移動した跡が分かる。丸いモップで床を拭いたようなイメージ

その面積は 半径2cmの円の14が4つ(つまり半径2cmの円1つ)と縦2cm横3cmの長方形と縦2cm横4cmの長方形が2つずつ の合計なので

面積は (2x2x3.14)+{(2×7)x2}=12.56+28=40.56cm² になる。

カドに垂直線を立てる

垂直線の真ん中を結ぶと、中心が移動した跡は「直線」と「曲線(弧)」の組み合わせと分かる

直線部分は三角形の3辺と等しいので、合計3+4+5=12cm

曲線部分は半径1cmの円の弧3つの合計で、3つの弧の中心角の合計は360°になるので、曲線部分の合計は半径1cmの円周と等しくなる

(図)

したがって長さの合計は 12+(1x2x3.14)=12+6.28=18.28cm になる

カドに立てた垂直線を包むように結ぶと、円全体が通った後は図のように「長方形」と「おうぎ形」の組み合わせと分かる

長方形部分は合計すると高さ2cm幅3+4+5=12cm、おうぎ形は合計すると半径2cmの円になる

したがって面積は (2x2x3.14)+{2x(3+4+5)}=12.56+24=36.56cm² になる。

カドに円の直径と同じ長さの垂直線を2本立てる。おうぎ形のカドでは直角になる。

垂直線の真ん中を結ぶと円の中心が動いた跡(軌跡)ができる。

この軌跡は「直線」と半径が異なる「曲線」の組み合わせになっていて、直線部分は半径の長さ4cmが2個、曲線部分は半径1cm中心角90°の弧が3つ(つまり半径1cmの円周の34個分)と半径5cm中心角90°の弧が1つになっている。

したがって長さは (4+4)+(1x2x3.14x34)+(5x2x3.14x14)=8+{(32+52)x3.14} =8+(4×3.14)=8+12.56=20.56cm になる

カドに立てた2本の垂直線を包むように結ぶと円全体が動いた跡(軌跡)ができる。

軌跡は「4cmx2cmの長方形」2個と「半径2cm中心角90°のおうぎ形」3個と「内径4cm外径6cm中心角90°のバームクーヘン」から出来ている。

これらの面積を合計すると {(4×2)x2}+{(2x2x3.14x14)x3}+{(6×6-4×4)x3.14x14}=16+{(3+5)x3.14}=16+8×3.14=16+25.12=41.12cm² になる。

円の動きをイメージすると…中心は角で直線的に曲がるので、中心が動いた跡は直線だけで構成される

長方形の縦横の長さから半径2個分を引いた長さだけ動いているので、その長さは (3+6)x2=18cm と求められる

円全体が動いた跡(軌跡)は下のようになって、計算しやすいように分割すると…

半径1cmの四半円が4個、1辺1cmの正方形が3×4=12個、幅2cm長さ4cmと長さ1cmの長方形2個ずつになる

よって面積は (1x1x3.14)+{(1×1)x3x4}+{2x(4+1)x2}=3.14+12+20=35.14cm² と求められる。

通った部分と通らなかった部分の形を見比べると通らなかった形の方が複雑なので、長方形の面積から(2)の答えを引いて間接的に (5×8)-35.14=40-35.14=4.86cm² と求めるのが簡単♪

通らない部分そのものを直接的に求めてみる。
円全体が通った跡をもう一度みると…

通らない部分は、中央の4cmx1cmの長方形と四隅の「ブーメラン形」4つ

「ブーメラン形」4つは1辺2cmの正方形から半径1cmの円を引いた面積と等しいので

通らない部分の面積の合計は {(2×2)-(1x1x3.14)}+1×4=4-3.14+4=4.86cm² と求められる

スタート位置、カドにぶつかった位置、カドを曲がる位置、ゴール位置に円の直径と同じ長さの垂直線を立てる

(図)

垂直線の真ん中を結ぶと中心が動いた跡ができる。

直線部分が2cm,1cm,3cmで曲線部分は半径1cmの円の14の弧になっている。

よって長さは (2+1+3)+(1x2x3.14x14)=6+(0.5×3.14)=6+1.57=7.57cm になる。

円全体が動いた軌跡を、カドの外を回る部分は大きな四半円に、カドの内をまわる部分は小さな正方形と小さな四半円に分割します。

この軌跡の面積は縦2cm横1cmと縦2cm横3cmの長方形2個、1辺1cmの正方形3つ、半径1cmの半円2個と四半円1個(つまり円54個)、半径2cmの四半円1個の合計

よって {2x(1+3)}+{(1×1)x3}+(1x1x3.14x54) +(2x2x3.14x14)=8+3+{(54+1)x3.14}=11+(2.25×3.14)=11+7.065=18.065cm²と求められる。(細かい答えになってしまいました…)

カドの外側を回る場所が一箇所あるのに注意

スタート位置から右回り(反時計回り)に、8+8+2+2x2x3.14÷4)+2+4+12=3.14+36=39.14cm

移動した跡を計算しやすいように区切る

幅4cm長さ4+4+8=16cmの長方形、1辺2cmの正方形15個、半径2cmの四半円5個、半径4cmの四半円1個 の合計と分かる。

よって面積は (4×16)+(2x2x15)+(2x2x3.14x14x5)+(4x4x3.14x14)=64+60+{(5+4)x3.14}=124+(9×3.14)=124+28.26=152.26cm² になる。

L字形の面積(16×12-4×4)から(2)を引くのが簡単

(16×12-4×4)-152.26=176-152.26=23.74cm²

(別解)直接求めてみる通らなかった部分の形を観察すると…

中央部分に「4cmx4cmの正方形」1個、半径4cmの「ブーメラン形」1個、隅に半径2cmの「ブーメラン形」が5個できている。

ブーメランだけをまとめて求めると、(1辺2cmの正方形5個+1辺4cmの正方形1個)から(半径2cmの四半円5個+半径4cmの四半円)になる

(図)

よって面積の合計は (4×4)+{(2x2x5+4×4)-(2x2x3.14x14x5+4x4x3.14x14)}=16+36-{(5+4)x3.14}=52-(9×3.14)=52-28.26=23.74になる

円が複数あったら、とりあえず中心を結ぶ。特に、同じ形の円が複数接していると正三角形ができて問題を解くヒントになる

この問題でも転がる円が「ハマった」状態(2回ある)で中心を結ぶと1辺12cmの正三角形が2個できる。

そして移動する円の中心の軌跡は半径12cmで中心角が360-(60x2)=240°の弧が2個と分かる

したがって軌跡の長さは (12x2x3.14x240360)x2=32×3.14=100.48cmになる。