中学受験図形】円おうぎ形の転がり移動【中心の動く距離・軌跡の面積

「円やおうぎ形が転がる問題」が苦手!な中学受験生の方へ

確かに「転がり移動」はイメージが難しい・計算が面倒くさいと思う人が多いです。

しかし実は計算は2種類しかなく、2種類覚えればあとは移動の様子さえイメージできれば解けてしますのです。
入試によく出る問題なので、ぜひ得意にしてほしい!

この記事では東大卒講師歴20年超の図解講師「そうちゃ」が円やおうぎ形の転がり移動の様子をイメージする方法から問題の解き方まで分かりやすく解説します。

記事を読んで例題が解けるようになれば「円おうぎ形の転がり移動」が得意になっているでしょう♪

この記事は「多角形の転がり移動」の続きなので、読んでない人はまずそちらを読むと良いでしょう

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円の転がり移動

円の場合、多角形よりもスムーズに転がります(車輪をイメージすれば分かります)

移動の特徴

なめらかな面(線)の上を転がる場合、中心は面(線)と平行に移動する。

直線上を転がる

はじめに円が平らな直線の上を転がる場合を考えましょう

X-1:線上を転がる円

半径1cmの円が直線にそって6cm転がるとき、以下の問いに答えなさい
Y[予5上9基本1(2)’][予5上10(総合)基本9]
円の中心が動いた長さは何cmか
ヒント

中心を結びましょう

解説

地面に垂直に立った線を6cm動かして、垂直に立った線の真ん中の点(円の中心)が動いた長さを見る

この場合は6cmになると分かる(長方形の対辺)

6cm
円全体が動いた跡の面積は何cm2
ヒント

イメージできますか?

解説

円全体が動いた跡は図のようになる

これは半径1cmの半円2つ(つまり円1つ)と縦2cm横6cmの長方形の和なので、面積は

(1x1x3.14)+(2×6)=3.14+12=15.14cm2

と分かる

15.14cm2

分かりましたか?

曲線上を転がる

円周のようななだらかに変化する線の上を転がる場合を考える。

円の外側

まず、円の外側を転がる場合です

X-1:円の外周を転がる円

図のように半径2cmの円が半径4cmの円の外側を転がって1周するとき、以下の問いに答えなさい。
Y[予5上9基本1(3)’]
円の中心が動いた跡の長さは何cmか
ヒント

半径がいくつの円を描くか考えます

解説

中心は半径4cmの円の円周と平行に半径6cmの円を描く

したがって、動いた線の長さは 6x2x3.14=12×3.14=37.68cm になる

37.68cm
円全体が動いた跡の面積は何cmか
ヒント

丸い形のモップで床を拭くのをイメージ

解説

円全体が動いた跡は、内側の半径(内径)4cmで外側の半径(外径)8cmの「ドーナツ形」になる

したがって、面積は (8x8x3.14)-(4x4x3.14)=(64-16)x3.14=48×3.14=150.72cm2 になる

150.72cm2

分かりましたか?

円の内側

図形の内側を転がる場合は「通らない範囲」も問題になることがあります。

X-1:円の内周を転がる円

半径2cmの円Aが半径8cmの円Bの内側に沿って転がり1周するとき、以下の問いに答えなさい。
Y[予5上9基本2′]
円Aの中心が動いた跡の長さは何cmか
ヒント

半径が何cmになるか考える

解説

中心が描く円の半径は 8-2=6cm になるので

動いた跡(軌跡)の長さは 6x2x3.14=37.68cm になる

37.68cm
円A全体が動いた跡の面積は何cm2
ヒント

先が丸いモップで円の内側を拭くのをイメージ

解説

円全体が動いた跡は、内側の半径(内径)4cmで外側の半径(外径)8cmの「ドーナツ形」になる

したがって、面積は (8x8x3.14)-(4x4x3.14)=(64-16)x3.14=48×3.14=150.72cm2 になる

150.72cm2
円Bの内側で円Aが通らない部分の面積は何cm2
ヒント

(2)を使ってもよいですが…

解説

円Bの面積8x8x3.14=200.96cm2から(2)の答え150.72cm2を引いても良いが、通らない部分は「半径4cmの円」という簡単な形なので直接求める方がラクそうと感じる(よね?)

その面積は 4x4x3.14=16×3.14=50.24cm2 になる

50.24cm2
分かりましたか?

角カドの外側を転がる

ここからは、円がなだらかに変化しない「角(カド)」がある線の上を転がる場合を考えます。

外側の曲がり方

円が3cm転がって角(カド)を曲がり、さらに3cm転がって止まるとき、円の中心が通る線を作図して、角で何度回転するか求めなさい
Y[予5上9補完B][予5上9基本1(1)]

(1)90°のカド

カドでは、カドと接した点を中心に単純な「回転運動」が起きる

円の中心を通り地面に垂直な線を角(カド)に2つ立て、間の角度を図る

回転する角度は360-90-90-90=90°と分かる

(2)60°のカド

同様に垂直な線をカドに立てて、角度を図ると…

カドで回転する角度は360-90-90-60=120°と分かる

(3)120°のカド

同様に角度を図ると

360-90-90-120=60°と分かる

 

カドの外側での回転の様子が分かったので、次は長さや面積を求めます。

 

円が3cm転がって角(カド)を曲がり、さらに3cm転がって止まるとき、円の中心が動く跡の長さを求めなさい
Y[予5上9補完B]

(1)90°のカド

中心が動いた跡は「直線」と「曲線」からなっている。「直線」は3cmが2つ、曲線は半径1cmの円周の90360=14になっている

したがって長さは  になる。

(2)60°のカド

「直線」部分は3cmが2つ、「曲線」部分は半径1cmの円周の120360=13になっている

したがって長さは  になる。

(3)120°のカド

「直線」は3cmが2つ、曲線は半径1cmの円周の60360=16になっている

したがって長さは  になる。

 

半径3cmの円が9cm転がって角(カド)を曲がり、さらに9cm転がって止まるとき、円全部が動いた跡の面積を求めなさい
Y[予5上9補完B]

(1)90°のカド

90°のカドを曲がるとき、円全部が動いた跡は図のように、3つの部分「半径3cmの半円2つ」「横9cmx縦6cmの長方形2つ」「半径6cm中心角90°のおうぎ形」からなっている。

したがって面積は {(3x3x3.14x180360)x2}+{(9×6)x2}+(6x6x3.14x90360)=108+(18×3.14)=164.52 になる

(2)60°のカド

60°の場合は「半径3cmの半円2つ」「横9cmx縦6cmの長方形2つ」は変わらないが、真ん中のおうぎ形の中心角が120°になる

したがって面積は {(3x3x3.14x180360)x2}+{(9×6)x2}+(6x6x3.14x120360)=108+(21×3.14)=173.94 になる

(3)120°のカド

120°の場合はおうぎ形の中心角が60°になる
したがって面積は {(3x3x3.14x180360)x2}+{(9×6)x2}+(6x6x3.14x60360)=108+(15×3.14)=155.1 になる

方形の外側を転がる

正方形・長方形の外側を円が転がる場合、90度のカドの外側を4回曲がる。

X-1:方形の外を転がる円

図のような長方形の回りを半径1cmの円Oが1周する時、以下の問いに答えなさい。
Y[予5上9例題2′][予5上9基本4][予5上10(総合)基本11]
中心が移動した跡の長さは何cmか
ヒント

まずカドに垂直線を立てる♪

解説

角に「円の直径と同じ長さの垂直線」を2方向に立てる(テストのときは円を描かなくてもOK♪)。

垂直線の真ん中にある中心を結ぶと円の中心が動いた跡ができる

この長さは、半径1cmの円の14の弧が4つ(つまり半径1cmの円周1つ)と、3cmと4cmの直線が2つずつ の合計なので

長さは (1x2x3.14)+{(4+3)x2}=20.28cm と分かる

20.28cm
円全体が移動した跡の面積は何cm2
ヒント

カドに立てた垂直線を使う

解説

カドに立てた2本ずつの垂直線を包むように結ぶと円全体が移動した跡が分かる。丸いモップで床を拭いたようなイメージ

その面積は 半径2cmの円の14が4つ(つまり半径2cmの円1つ)と縦2cm横3cmの長方形と縦2cm横4cmの長方形が2つずつ の合計なので

面積は (2x2x3.14)+{(2×7)x2}=12.56+28=40.56cm2 になる。

40.56cm2

練習問題(2023.4.17作成中)

三角形の外側

三角形の外側を転がる場合はどうなるでしょうか?

X-1:三角形の外を転がる円

図のような直角三角形の外側を半径1cmの円が転がるとき、以下の問いに答えなさい
Y[予5上9練習3]
中心が通った跡の長さは何cmか
ヒント

まずカドに垂直線を2本立てる

解説

カドに垂直線を立てる

垂直線の真ん中を結ぶと、中心が移動した跡は「直線」と「曲線(弧)」の組み合わせと分かる

直線部分は三角形の3辺と等しいので、合計3+4+5=12cm

曲線部分は半径1cmの円の弧3つの合計で、3つの弧の中心角の合計は360°になるので、曲線部分の合計は半径1cmの円周と等しくなる

(図)

したがって長さの合計は 12+(1x2x3.14)=12+6.28=18.28cm になる

18.28cm
円全体が通った跡の面積は何cm2
ヒント

カドにできる図形に注目

解説

カドに立てた垂直線を包むように結ぶと、円全体が通った後は図のように「長方形」と「おうぎ形」の組み合わせと分かる

長方形部分は合計すると高さ2cm幅3+4+5=12cm、おうぎ形は合計すると半径2cmの円になる

したがって面積は (2x2x3.14)+{2x(3+4+5)}=12.56+24=36.56cm2 になる。

36.56cm2

三角形の形が変わっても、円全体が描く軌跡のおうぎ形の合計は円になります。

(簡単な証明)

(図)

練習問題をどうぞ(2023.4.18作成中)

 

おうぎ形の外側

おうぎ形の外側を転がるとどうなるでしょうか…カドの回り方に注意して下さい

X-1:おうぎ形の外を転がる円

半径4cmの四半円の外側を半径1cmの円が転がって一周するとき、以下の問いに答えなさい。
Y[予5上9例題3′][予5上9練習2]
円の中心が動いた後の長さは何cmか
ヒント

まずカドに垂直線を2本立てましょう

解説

カドに円の直径と同じ長さの垂直線を2本立てる。おうぎ形のカドでは直角になる。

垂直線の真ん中を結ぶと円の中心が動いた跡(軌跡)ができる。

この軌跡は「直線」と半径が異なる「曲線」の組み合わせになっていて、直線部分は半径の長さ4cmが2個、曲線部分は半径1cm中心角90°の弧が3つ(つまり半径1cmの円周の34個分)と半径5cm中心角90°の弧が1つになっている。

したがって長さは (4+4)+(1x2x3.14x34)+(5x2x3.14x14)=8+{(32+52)x3.14} =8+(4×3.14)=8+12.56=20.56cm になる

20.56cm
円全体が動いた跡の面積は何cm2
ヒント

カドに立てた垂直線を使います

解説

カドに立てた2本の垂直線を包むように結ぶと円全体が動いた跡(軌跡)ができる。

軌跡は「4cmx2cmの長方形」2個と「半径2cm中心角90°のおうぎ形」3個と「内径4cm外径6cm中心角90°のバームクーヘン」から出来ている。

これらの面積を合計すると {(4×2)x2}+{(2x2x3.14x14)x3}+{(6×6-4×4)x3.14x14}=16+{(3+5)x3.14}=16+8×3.14=16+25.12=41.12cm2 になる。

41.12cm2

三角形の外側を転がるのと違って、角にできるおうぎ形の中心角の合計は360°ではないので注意
(90+90+(180-中心角)=360-中心角になる)

練習問題(2023.4.18作成中)

角カドの内側を転がる

内側の曲がり方

半径1cmの円が図の位置から角にくっつくまで右へ転がり、その後は同じ長さだけ上に転がるときに次の問いに答えよ
Y[予5上9補完D]

(1)中心が動いた跡の長さは何cmか

2cm動くと角にぶつかって動けなくなり、外側のときと違って回転せずに、折れ曲がる

したがって、中心が動く距離は2+2=4cmです。外側を曲がるよりも計算がラクですね。

(2)円全体が動いた跡の面積は何cm2

動いた跡を面積を求めやすいに区分すると図のようになります。

半径1cmの半円が2つ、縦2cm横1cmの長方形が2つ、一辺1cmの正方形が3つ、それとカドのところに半径1cmの四半円が1つできる。

これらを合計すると

になる。

この曲がり方の考え方を使って問題を解きます。

方形の内側

最初は正方形や長方形の内側を転がる問題を解いてみます。

X-1:方形内を転がる円

図のような長方形の内側を半径1cmの円が転がって1周するとき、以下の問いに答えなさい。
Y[予5上9基本1(4)’]
中心が動く跡の長さは何cmか
ヒント

カドでの動きに注意

解説

円の動きをイメージすると…中心は角で直線的に曲がるので、中心が動いた跡は直線だけで構成される

長方形の縦横の長さから半径2個分を引いた長さだけ動いているので、その長さは (3+6)x2=18cm と求められる

18cm
円全体が動く跡の面積は何cm2
ヒント

計算しやすいように分割しましょう

解説

円全体が動いた跡(軌跡)は下のようになって、計算しやすいように分割すると…

半径1cmの四半円が4個、1辺1cmの正方形が3×4=12個、幅2cm長さ4cmと長さ1cmの長方形2個ずつになる

よって面積は (1x1x3.14)+{(1×1)x3x4}+{2x(4+1)x2}=3.14+12+20=35.14cm2 と求められる。

35.14cm2
長方形の内部で、円が通らない部分の面積は何cm2
ヒント

(2)を利用するのが簡単

解説

通った部分と通らなかった部分の形を見比べると通らなかった形の方が複雑なので、長方形の面積から(2)の答えを引いて間接的に (5×8)-35.14=40-35.14=4.86cm2 と求めるのが簡単♪

4.86cm2
別解

通らない部分そのものを直接的に求めてみる。
円全体が通った跡をもう一度みると…

通らない部分は、中央の4cmx1cmの長方形と四隅の「ブーメラン形」4つ

「ブーメラン形」4つは1辺2cmの正方形から半径1cmの円を引いた面積と等しいので

通らない部分の面積の合計は {(2×2)-(1x1x3.14)}+1×4=4-3.14+4=4.86cm2 と求められる

分かりましたか?練習問題をどうぞ(2023.4.18作成中)

複雑な形に沿って転がる

複雑な形に沿って転がる場合、色々な曲がり方が混ざって出てきます。

折れ線

ポイントは角の外側と内側を組み合わせて作図することです。

X-1:折れ線上を転がる円

図のような段を半径1cmの円がAからBまで転がるとき、以下の問いに答えなさい。
Y[予5上9例題4′][予5上9練習6][予5上10(総合)練習6]
中心が動いた跡の長さは何cmか
ヒント

外側を転がるカドには2本の「垂直線」を立てましょう

解説

スタート位置、カドにぶつかった位置、カドを曲がる位置、ゴール位置に円の直径と同じ長さの垂直線を立てる

(図)

垂直線の真ん中を結ぶと中心が動いた跡ができる。

直線部分が2cm,1cm,3cmで曲線部分は半径1cmの円の14の弧になっている。

よって長さは (2+1+3)+(1x2x3.14x14)=6+(0.5×3.14)=6+1.57=7.57cm になる。

7.57cm
円全体が動いた跡は何cm2
ヒント

カドの内側を曲がる部分を上手に分割しましょう

解説

円全体が動いた軌跡を、カドの外を回る部分は大きな四半円に、カドの内をまわる部分は小さな正方形小さな四半円に分割します。

この軌跡の面積は縦2cm横1cmと縦2cm横3cmの長方形2個、1辺1cmの正方形3つ、半径1cmの半円2個と四半円1個(つまり円54個)、半径2cmの四半円1個の合計

よって {2x(1+3)}+{(1×1)x3}+(1x1x3.14x54) +(2x2x3.14x14)=8+3+{(54+1)x3.14}=11+(2.25×3.14)=11+7.065=18.065cm2と求められる。(細かい答えになってしまいました…)

18.065cm2

練習問題(2023.4.18作成中)

L字形の内側

長方形の一部がへこんだ「L字形」の内側を転がる問題

X-1:L形内を転がる円(作成中)

半径2cmの円が図のようなL字の内側を移動する場合、以下の問いに答えなさい。
中心が移動した距離は何cmか
ヒント

カドの「外」を回るか考える

解説

カドの外側を回る場所が一箇所あるのに注意

スタート位置から右回り(反時計回り)に、8+8+2+2x2x3.14÷4)+2+4+12=3.14+36=39.14cm

39.14cm
円全体が移動した跡の面積は何cm2
ヒント

区切りましょう

解説

移動した跡を計算しやすいように区切る

幅4cm長さ4+4+8=16cmの長方形、1辺2cmの正方形15個、半径2cmの四半円5個、半径4cmの四半円1個 の合計と分かる。

よって面積は (4×16)+(2x2x15)+(2x2x3.14x14x5)+(4x4x3.14x14)=64+60+{(5+4)x3.14}=124+(9×3.14)=124+28.26=152.26cm2 になる。

152.26cm2
L字形の内側で、円が移動「しなかった」部分の面積は何cm2
ヒント

L字形の面積から(2)を引くのが簡単

解説

L字形の面積(16×12-4×4)から(2)を引くのが簡単

(16×12-4×4)-152.26=176-152.26=23.74cm2

(別解)直接求めてみる通らなかった部分の形を観察すると…

中央部分に「4cmx4cmの正方形」1個、半径4cmの「ブーメラン形」1個、隅に半径2cmの「ブーメラン形」が5個できている。

ブーメランだけをまとめて求めると、(1辺2cmの正方形5個+1辺4cmの正方形1個)から(半径2cmの四半円5個+半径4cmの四半円)になる

(図)

よって面積の合計は (4×4)+{(2x2x5+4×4)-(2x2x3.14x14x5+4x4x3.14x14)}=16+36-{(5+4)x3.14}=52-(9×3.14)=52-28.26=23.74になる

23.74cm2

組み合わせ円の外側

組み合わされた複数の円の回りを同じ形の円が転がる例えばこんな問題です

X-1:双円外を転がる円

図のように接した半径6cmの円の周囲を同じく半径6cmの円が転がって一周するとき、中心が動いた跡の長さは何cmか
Y[予5上9例題5′]
ヒント

円が複数あったら、とりあえず○○を結びます

解説

円が複数あったら、とりあえず中心を結ぶ。特に、同じ形の円が複数接していると正三角形ができて問題を解くヒントになる

この問題でも転がる円が「ハマった」状態(2回ある)で中心を結ぶと1辺12cmの正三角形が2個できる。

そして移動する円の中心の軌跡は半径12cmで中心角が360-(60x2)=240°の弧が2個と分かる

したがって軌跡の長さは (12x2x3.14x240360)x2=32×3.14=100.48cmになる。

100.48cm

分かりましたか?

もう1問、次は3つの円の周りを転がる問題をどうぞ

X-1:正三円外を転がる円

図のように接した3つの半径3cmの円の周りを同形の円が転がって一周するとき、中心が動いた跡の長さは何cmか
ヒント

接した状態を想像して円の中心を結びましょう

解説

転がる円がハマった状態(3回ある)の円の中心を結ぶと1辺6cmの正三角形が4つできる♪

そして移動する円の中心の軌跡は半径12cmで中心角が360-(60x2)=240°の弧が2個と分かる

よって長さは 6x2x3.14x180360x3=18×3.14=56.52cm と求められる

56.52cm

3つの円がL字形に並んだ問題

予シリ5(上)9回[練習問題4]

L字形の3円

 

おうぎ形の転がり移動

平面(台)上を転がる

おうぎ形が滑らずに転がる移動

図1a:

どんな動きをするか想像できますか?

中心の動きはこうなります

図1b

こんなふうに動きます

なぜこんな動きになるのか?詳しく解説します。

中心の移動距離

3段階で考えると分かりやすい

はじめに、半径が台と垂直になるまで90°回転する

中心の移動(第一段階)

説明書き

中心の移動距離は、半径6cm中心角90°のおうぎ形の弧の長さになる。

次に、もう一方の半径が台と垂直になるまで、「弧」を地面に押し付けるように転がる

中心の移動(第2段階)

説明書き

このとき、中心は地面と平行に移動する(長方形の上の辺になる)ので、地面に押し付けられた孤の長さ(長方形の下の辺)と同じ長さ(6x2x3.14x60360)になる

最後は、台にパタっと落ちて終了(90°回転。始めの動きの逆)。

中心の移動(第3段階)

説明書き

合計して、中心の移動距離は6x2x3.14x90+90+60360と考えることができる。

図1:

説明書き

これを整理・計算して、6x2x3.14x150360=12×3.14x512=5×3.14=15.7cm

が答え

移動した跡の面積

中心の移動の様子を思い出すと

中心の移動

説明書き

移動した面積も分かる

おうぎ形が移動した跡

説明書き

半径6cm中心角90°のおうぎ形が2つと、縦6cm、横6x2x3.14x60360の長方形が1つになる。

合計すると、(6x2x3.14x90360x2)+(6x6x2x3.14x60360)=(6×3.14)+(12×3.14)=18×3.14=56.52cm2

になる。

おうぎ形の周りを転がる

おうぎ形がおうぎ形の周りを転がる問題です

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