四角形を分割した比が苦手…という方へ
この記事では東大卒講師歴20年超の図解講師「そうちゃ」が分割線が交差する四角形の分割問題(クロス分割)の解き方をわかりやすく解説します
記事を読んで例題を解けば「四角形のクロス分割」が得意になっているでしょう♪
目次(クリックでジャンプ)
はじめに
今回の学習に必要な事柄に軽く触れます。
四角形の分割の2タイプ
当サイトでは、四角形を分割する面積比の問題を「並行分割」と「クロス分割」の2タイプに分けて考えます。
並行分割
分割する線が交わらないタイプ(図左側)で、「相似比」を使わず「底辺比と面積比」を使います。
クロス分割
分割する線が交わっている(クロス)分割です(図右側)。この場合は「相似比」を使い、複雑になることが多いです。
この記事では「クロス分割」のみ説明します。「並行分割」を学習したい人は関連記事「四角形の並行分割」を見て下さい
相似比
クロス分割は相似比も使って解くので、相似比を知らない忘れた人は関連記事「相似比」を見て下さい
比のそろえ方
2種類の相似比が出てきたときに比をそろえる必要があります。
2種類の比のそろえ方を知らない・忘れた人は関連記事「比のそろえ方」を見て下さい
四角形の分類
四角形は何の特徴も無い「ただの四角形=凡四辺形(当サイトでの呼び方)」から完璧な四角形である「正方形」まで段階的に整形され…
ベン図にするとこうなります。
四角形の種類について詳しく知りたい・問題を解きたい人は関連記事「四角形まとめ」内の「四角形の種類」を見て下さい。
いよいよ四角形のクロス分割を見ていきましょう。
台形のクロス分割
はじめに「狭義の台形」
基本分割
多重分割
相似が二種類できる
追加平行線
はみ出し
平行四辺形のクロス分割
狭義の平行四辺形と長方形のクロス分割を見ていきます
基本分割
多重分割
相似が二種類できる
追加平行線
はみ出し
組み正方形の問題
正方形を並べて作った長方形を分割する問題です
凡四辺形のクロス分割
台形ですらない四角形(凡四辺形)を対角線で分割するのも「クロス分割」に見えますが、平行線がないので相似比が使えずに「高さ比」のみで解きます。
分割比
と、対角線を共通の底辺とする、2つの三角形に分けられる。
この2つの三角形はもう一つの対角線を分けたものを含んでいます。
この分けられたもう一つの対角線がそろうように、180°回転させて左右を反転させると、三角形の高さは分けられた対角線の長さの比と等しいように見えますね？(本当は相似の知識が無いと分からないのですが、ここでは感覚でOK)
このように無名四角形を対角線で分けて出来る三角形の面積比は、もう一つの対角線が分けられた比と等しくなります。
この性質は応用問題を簡単に解くのに非常に便利なので必ず覚えておきましょう。
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