[作成中]中学受験】図形の転がり移動【頂点・中心の動く距離・図形の軌跡

「図形の転がり移動」が苦手!な中学受験生の方へ

この記事では東大卒講師歴20年超の図解講師「そうちゃ」が図形の転がり移動の問題を基礎から応用まで分かりやすく解説します。

記事を読んで例題が解けるようになれば「転がり移動」が得意になっているでしょう♪

転がり移動とは

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。ただいま2023年度家庭教師の生徒さん募集中です。

図形の「平行移動」は向きを変えない移動、「回転移動」は向きを変える移動でした。

「転がり移動」は回転移動の一種です。

他の図形(直線や多角形・円おうぎなど)と接している状態からスタート

接している点を中心に回転して、別の点(辺)が接したら回転が終了します。直方体の箱(ティッシュペーパーなど)を床に立てて押すと「パタッ」と倒れる動きですね

これを断続的に行うのが「転がり移動」で、算数の問題では「すべらずに移動する」と表現してあることが多いです。

長方形の直線上での転がり移動は、こんな感じです

図1:

説明書き

 

三角形の転がり移動

 

 

 

方形の転がり移動

 

 

円の転がり移動

円の場合、多角形と違って

移動の特徴

中心は移動線と平行に動く

 

 

長方形の外側を移動

円の中心が通ったあとの長さ

 

円が通ったあとの面積

 

長方形の内側を移動

円の中心が通ったあとの長さ

 

円が通ったあとの面積

 

円が通らなかった部分の面積

 

L字形の外側を移動

 

 

L字形の内側を移動

半径3cmの円がL字の内側を移動する場合を考える

中心が移動した距離

3+(3x2x3.14÷4)+3+10+12+16+6
=1.5×3.14+50=4.71+50
=54.71cm

円が移動「しなかった」部分の面積

角に小さな「ブーメラン」が5つと中央に大きな「ブーメラン」1つができている。

大ブーメランは小ブーメランと同じ形(相似)で、長さ2倍だから面積は2×2=4倍。
→ブーメラン形全部で小ブーメラン9つと考える

(6×4)+{(6×6-3x3x3.14)÷4×9}
=24+(6×6÷4×9)-(3x3x3.14÷4×9)
=24+81-20.25×3.14=105-63.585=41.415cm2

おうぎ形の転がり移動

平面(台)上を転がる

おうぎ形が滑らずに転がる移動

図1a:

どんな動きをするか想像できますか?

中心の動きはこうなります

図1b

こんなふうに動きます

なぜこんな動きになるのか?詳しく解説します。

中心の移動距離

3段階で考えると分かりやすい

はじめに、半径が台と垂直になるまで90°回転する

中心の移動(第一段階)

説明書き

中心の移動距離は、半径6cm中心角90°のおうぎ形の弧の長さになる。

次に、もう一方の半径が台と垂直になるまで、「弧」を地面に押し付けるように転がる

中心の移動(第2段階)

説明書き

このとき、中心は地面と平行に移動する(長方形の上の辺になる)ので、地面に押し付けられた孤の長さ(長方形の下の辺)と同じ長さ(6x2x3.14x60360)になる

最後は、台にパタっと落ちて終了(90°回転。始めの動きの逆)。

中心の移動(第3段階)

説明書き

合計して、中心の移動距離は6x2x3.14x90+90+60360と考えることができる。

図1:

説明書き

これを整理・計算して、6x2x3.14x150360=12×3.14x512=5×3.14=15.7cm

が答え

移動した跡の面積

中心の移動の様子を思い出すと

中心の移動

説明書き

移動した面積も分かる

おうぎ形が移動した跡

説明書き

半径6cm中心角90°のおうぎ形が2つと、縦6cm、横6x2x3.14x60360の長方形が1つになる。

合計すると、(6x2x3.14x90360x2)+(6x6x2x3.14x60360)=(6×3.14)+(12×3.14)=18×3.14=56.52cm2

になる。

おうぎ形の周りを転がる

おうぎ形がおうぎ形の周りを転がる問題です

 

図形の転がり移動は以上です

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