[作成中]中学受験】時計算の解き方のコツは?

「時計算って何?難しそう…」という中学受験生の方へ

大丈夫ですよ!

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。

記事を読んで例題を解けば、時計算が好き得意になっているでしょう♪

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時計盤の「角度」

長針と短針2つの針が作る角度を考えるのが時計算の問題です。

時計盤の文字1つの角度

1周(360°)を12等分するので、360÷12=30°になっている。

時計盤の文字1つの角度

●=360÷12=30°

○時ちょうどの両針の角度

例えば4時ちょうどの長針と短針の角度を考えると、文字1つが30°なので、30×4=120°と分かります。

4時の角度

30(●)x4=120°

角度の答え方

また10時ちょうどの場合は30×10=300°(A)になりますが、自然な感覚としては360-300=60°(B)と感じます。

10時の角度

30(●)x10=300°だが
180°より大きいので、
360-300=60と答える

実際、テストでも「小さい方の角度」「180°以下の角度」と指定があるのが普通です。この場合は「60°」と答えないとバツになります。

ただ、これは答えるときだけの処理で、途中計算では360から引くことはしません(分数計算で、途中では仮分数を使って答えるときに帯分数に直すのに似ています)

小まとめ

時計算の基本

●時計盤の角度
文字一つの角度~30°

●N時ちょうどの角度~(30xN)°
(例)4時ちょうど→30×4=120°

(例)10時ちょうど
→30×10=300°(180より大きい)
→360°-300°=60°(180より小さい方)

長針と短針の「角度」

針の速度

今まで速さの単位は「時/km」のように「長さ/時間」で表しましたが、長針や短針の速度は「1分で何°回転するか」=「角速度」で表します。

長針の角速度

長い針は1時間(60分)で1周(360°)するので

360÷60=6°/分(ろくど まいふん)という角速度になります。

((図))

短針の角速度

一方、短い針は1時間(60分)で文字一つ分30°しか進まないので

30÷60=0.5°/分(れいてんごど まいふん)という角速度です。

((図))

時計算は旅人算に似ている

ここで時計の長針と短針の動きを考えます。

毎正時たとえば4時ちょうどを例にすると、速さ6°/分の長針が速さ0.5°/分の短針を120°「後ろ」から、追いかける形になっています。

4時ちょうどの状況

長針が短針を追いかける

これは旅人算(追いつき)と状況が似ていますね

図1:

説明書き

そこで「時計算」というのは旅人算(追いつき)の速さが決まったバージョンと考えます。

ここで、速さの公式と旅人算(追いつき)の公式を復習すると、こうでした。(旅人算を完全に忘れた!という人は、関連記事「旅人算まとめ」内「追いつきの旅人算」を見て下さい)

速さの三公式

❶時間=道のり÷速さ

②道のり=速さ×時間

③速さ=道のり÷時間

旅人算(追い付き)の公式

❶追いつく時間=2人の距離÷速さの

2人の距離=速さの×追いつく時間

速さの=2人の距離÷追いつく時間

「速さの差」を計算に使ったのを思い出しましたか?時計算では「速さの差」の代わりに両針の「角速度の差」を使います。

長針の角速度6°/分ー短針の角速度0.5°/分=角速度の差5.5°/分で、これは「長針は短針との角度の差を1分で5.5°縮めていく」ことを意味します。

時計算の計算は、この「5.5°/分」を必ず使うので憶えましょう

時計の針の「速さ」

→角速度(角度÷時間)で表す

●長針の速さ
→360°÷60分=6°/分(速い)

●短針の速さ
→30°÷60分=0.5°/分(遅い)

●両針の速さの差
→6-0.5=5.5°/分
→両針の角度は毎分5.5°ずつ変化していく

ここからは、「時計算=旅人算」という考え方で問題を解いていきます。

長針と短針が重なる

例えば4時から5時の間で、長針と短針が重なる時刻を出してみます。

「長針と短針が重なる」は旅人算的に「長針が短針に追いつく」と考えます

先程見たように「4時ちょうど」は角速度6°/分の長針が、30×4=120°「前」を角速度0.5で逃げる短針を追いかけ始める状態です。

4時ちょうどの状況

長針が120°前を行く短針を
追いかけ始める

ここから、長針が追いつくのにかかる時間は、旅人算の追いつく時間の公式「追いつく時間=2人の距離÷速さの差」と同じ用に考えて、

長針が短針と重なる(追いつく)時刻=両針の角度÷角速度の差

で求められます。

この場合、4時ちょうどの両針の角度は30×4=120°、角速度の差は6-0.5=5.5(こちらはいつも同じ)なので、

長針が短針に追いつく時間=120÷5.5=120/5.5=1200/55=240/11=21911分と分かります。

つまり両針が重なる時刻は4時21911分です!

図1:

説明書き

ここで、面倒くさいのですが秒まで求めてみましょう。

「1分=60秒」なので分(ふん)の分数部分9/11を60倍すると秒にできます。

分母の11は消えないのでやはりスッキリしない答えですが、まあしょうがない…

時計の針が重なる時刻を求める

●N時から(N+1)時の間で両針が重なる時刻
→N時{(30xN)÷5.5}分

(例)4時から5時までの間で両針が重なる時刻
→4時ちょうどの両針の角度は30×4=120°
→ここから5.5°/分の角度が縮んで行くので
→120÷5.5=21911
→重なるのは4時21911

確認テスト

10時から11時の間で長針と短針が重なる時刻は?

 

ある時刻の角度

ある時刻(N時M分としておきます)の角度を考える場合も、まずN時ちょうどの両針の角度を求めます。

例えば4時10分での両針の角度を求めるなら、まず4時ちょうどの角度を30×4=120°と求めておきます。

これは、さっき見たように、短針が長針の120°「前」にいる状態です。

4時ちょうどの状況

長針が120°前を行く短針を
追いかけ始める

「4時10分」は、ここから10分経ったときの両針の状態です。10分後にはどうなるでしょうか

変化量

図形的な考え方

120°離れた状態から、長針は10分で6×10=60°進み、短針は0.5×10=5°進みます。

4時10分の両針の角度

120-60+5=65°

差し引き、長針と短針の間は120-60+5=65°になると分かります。

変化量を使う考え方

もっと簡単な方法を紹介します。

両針の角度は1分で「角速度の差」5.5°ずつ縮まっていくので、10分では5.5×10=55°縮まります。

これで10分後の角度は、はじめの角度120°ー縮まった55°=65°になると分かります。

先程行った計算と中身は同じです。

120-60+5=120-(60-5)=120-55=120-5.5×10

重なる(追いつく)前と後

今度は4時30分の両針の角度を考えます。

4時ちょうどの120°から、30分で5.5×30=165°差が縮まります。

…あれ?と思った人は鋭いです

120°から165°差を縮めるのはやりすぎで、差を120°縮めた時点で角度は0°になります(両針が重なった状態)。これは上で出した4時21911分の出来事です。

30分での変化量165°の残り45°は短針を追い越した長針が広げた差を意味します。

((図))

従って、4時30分の角度は45°になります。

4時10分の場合と、4時30分の場合では考え方が少しことなりました。その違いは「両針が重なる前か後か」で生じます。

ある時刻の両針の角度

→両親の重なる時刻がポイント

●両針が重なる前(例:4時10分)
→4時ちょうどの両針の角度120
→10分での角度の変化量55°
→120-55=65°(4:10の角度)

●両針が重なる後(例:4時30分)
→4時ちょうどの両針の角度120
→30分での角度の変化量165°
→165-120=45°(4:30の角度)

ある時刻(N時M分)の両針の角度を求める場合は、重なる前か後かを考えて下さい。

ここで、ある時刻(N時M分)の両針の角度の求め方をまとめるとこうなります。

ある時刻の両針の角度

●N時M分の角度
N時ちょうどの角度(30xN)°から(5.5xM)°変化する

○長針が追いつく前~(30xN)ー(5.5xM)

(例)4時10分
→120°から5.5×10=55°変化する(追いつく)
→両針の角度は120-55=65°

○長針が追いついた後~(5.5xM)ー(30xN)

(例)4時30分
→120°から5.5×30=165°変化する(追いつき引き離す)
120°追いついて両針が重なり、さらに165-120=45°引き離す
→両針の角度は45°

 

一直線になる

 

 

直角になる

 

 

特定角度になる

 

 

その他の問題

 

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