作成中]中学受験算数】旅人算とは?基本から応用、ダイヤグラムまでまとめました【速さ

旅人算が難しい」という中学受験生の方、そんな難しい問題に取り組んでいる立派なあなたを助けるために、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します!読んだ後は「旅人算」が前より得意になっているでしょう♪

旅人算の基本公式

旅人算は離れている2人(以上)の人間が「出会ったり」「追いついたり」する問題です。

((出会い))((追い付き))

速さの分野で出てくる色々な公式は「速さの三公式」と形が変わらないので、まずおさらいです。

速さの三公式

①道のり=速さ×時間

②速さ=道のり÷時間

③時間=道のり÷速さ

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

時速4kmで3時間進んだ距離は?→( 4×3=12km )

3kmを36分で進む速さは時速何km?→(36分=3660時間=35時間。 )
→( 35=3×53=5より時速5km)

5kmの道を時速4kmで進むと何時間何分かかる?
→( 5km÷4km/時=54時間=114時間 )
→( 14時間=60分×14=15分なので、114時間は1時間15分)

 

出会う場合

出会い

例えば、10cmはなれた点Aと点Bが、それぞれ3cm/秒と2cm/秒の速さで近づく場合です。

((図))

二人の進行方向(速さの矢印の向き)が逆の場合、二人の速さはプラス(和)される。

電車や車に乗っていて別の電車や車とすれ違う時は、すごい速さを感じますね。あれは自分の速さと相手の速さがプラスされるから。

この問題では二点ABは3+2=5の速さで近づき、10cm÷5cm/秒=2秒で出会います。

基本公式の「速さ」を「速さの和」に変えると旅人算の公式になる。

旅人算(出会い)の公式

❶出会う時間=2人の距離÷速さの和

②2人の距離=速さの和×出会う時間

③速さの和=2人の距離÷出会う時間

分かれる

近づいてきた二人がすれ違って別方向に離れていく場合も同じ公式を使う

((図))

確認テスト

 

追いつく

2cm/秒の速さで進む点Bを、10cm後ろから点Aが3cm/秒の速さで追いかける場合です。

((図))

離れている二人の進行方向が同じ場合、速さはマイナス(差)される。

車や電車に乗っている時に別の車や電車と並んで走ると相手がゆっくり動いているように見えるのと同じ。

この問題では二点ABは3=2=1の速さで近づき、10cm÷1cm/秒=10秒でAがBにおいつきます。

基本公式の「速さ」を「速さの差」に変えると追い付きの旅人算の公式になる。

旅人算(追い付き)の公式

❶出会う時間=2人の距離÷速さの差

②2人の距離=速さの差×出会う時間

③速さの差=2人の距離÷出会う時間

引き離す

追いついた速い方がそのまま進んで遅い方を引き離す(差をつける)場合にも同じ式を使います。

((図))

確認テスト

旅人算とダイヤグラム

 

円周上の旅人算

池の周りの道のような円周状の道を2人がジョギングするような場合が円周上の旅人算です。

直線の場合と違って、どちらかが止まらない限り何度も出会ったり追い越したりを繰り返します。

一度出会ったり追い越したりした後も問題が続くので少し複雑ですが「周期」に注目すれば理解できますよ

 出会う場合

開いて直線にする

円周上の旅人算を簡単に考えるコツの1つが「円を開いて線にする」です。

図1:円を開いて線にするイメージ

直線上の旅人算と同じに考えられます

こうすれば、二人の距離=一周分の距離を近づく出会いの旅人算になると分かりますね。

確認テスト

ニ回目以降の出会いは周期的

一回出会った後は、また同じ時間で出会うので、周期算のようになります。

例えば、一周10cmの円周上をAが3cm/秒でBが2cm/秒で同地点から反対方向にスタートした場合

最初の出会いは10÷(3+2)=2秒後で、以降は2秒ごとに出会います。

つまり2秒後,4秒後,6秒後,8秒後…に出会っていきます。

出会う地点の移り変わり

出会う時刻の周期が分かると、出会う地点も分かります。

コツは2人いるうちの遅い人に注目することです。

上の例では遅い方のBに注目して2秒ごとの位置を求めれば、それが出会う地点になります。

Bの速さは2cm/秒なので、2秒,4秒,6秒,8秒後の位置は、スタート地点から4cm,6cm,8cm,10cm地点になります。

8秒後の10cm地点はちょうどスタート地点になります。この後は8秒ごとにスタート地点で出会うことになります。

出会いの回数で指定された場合

「23回目に出会うのはどの地点でか」のように出会いの回数で指定された場合は遅い方の移動距離を一周で割った余りで求めます

23回目の出会いは2×23=46秒後、2cm/秒のBは46秒後に92cm移動。92÷10=9…2なのでスタート地点から2cmと分かりますね。

追いつく場合

直線にする

こちらは一層面倒です。Aがグルグル回ってBに追いつく様子を想像すると目が回りそうですね。これも直線にするとこうなります。

図2:多重の円を直線に直したところ

スッキリします。

最初の状態はこうですから…

図3:最初の状態を直線にする

二人の距離は一周分と等しい

二人の距離が一周分の追いつきの旅人算になると分かります。

二回目以降の追いつき周期

出会いと同じく、追いつきの場合も二回目以降は同じ周期で追いつきが発生します。

上の例では、一回目の追いつきが10÷(3cm-2cm)=10秒後で、以降は10秒ごとに追いつきます。

つまり10秒,20秒,30秒,40秒に追いつきが発生します。

追いつき地点の移り変わり

出会う場合と同じように、遅い方の人に注目して行きます。

上の問題では速さ2cmのBの10秒後はスタート地点から20cmつまりスタート地点で追い越されます。

以降も10秒ごとにスタート地点で追い越されると分かります。

まとめ(公式カード)

出会い

 

追いつき

 

三人の旅人算

 

往復の旅人算

同じ地点・または反対側から出発した2人のうち片方または両方が折り返して出会ったり追いついたりする問題。

1回出会ったり追いついたりした後は、等間隔の時間(二人の進む道のりの和か差が片道2回分になる時間)で出会ったり追いついたりする。

状況整理が難しいので、予め図の書き方を練習しておきましょう。

A:同じ地点から出発する場合

片道2回分の等時間隔で出会ったり追いついたりを繰り返します。

一回目の出会い(折り返して出会い)

折返しコースのマラソン大会で足の速いAが先に折り返して遅いBとすれ違うような場合です。

図1:「折り返して出会う」

Aは先に折り返して後から来たBと出会う
(マラソン大会のイメージ)

このパターンは2つの利用法があります。

和を利用

コースの長さが分かっているような場合は、ABが進んだ道のり全体を一直線に伸ばします。

図1:「折り返して出会い」和を利用

10
20
ABをぐいっと伸ばすと…
コース2つ分はなれた出会いの旅人算になる

例えば10cmのコースを点Aが3cm/秒で点Bが2cm/秒で同時に出発した場合、コース2つ分(20cm)はなれたABの出会いになるので、20÷(3+2)=4秒後に出会います。

出会う場所は速さ2のBが4秒進んだ場所なのでスタートから2×4=8cm地点です。

差を利用

コースの長さが分からずABが出会った地点が分かっている場合はAだけを一直線に伸ばします。

図1:「折り返して出会い」差を利用

2
4
Aだけをぐいっと伸ばすと…
追い付き(引き離し)の旅人算になる

例えばXY間のコースを点Aが3cm/秒で点Bが2cm/秒で同時に出発して、ABがYから2cm手前ですれ違った場合、伸ばしたAはBより2cm×2=4cm長くなります。

AとBの差が4cmになる「引き離し」の旅人算なので4÷(3-2)=4秒後に出会ったと分かります。

そしてコースの片道は速さ2のBが4秒進んだ2×4=8cmに2cm足した10cmです。

二回目以降の出会い

等時間隔で出会う

一回目の出会いの後、二人が進んだ道のりの和が「片道2回分」になるごとに(等間隔の時間ごとに)出会います。

図2:同地点から出発して2回目の出会い

一回目の出会い(点線)から二人の道のりの合計が「片道2回分」になっている

1回目の出会いも2人の和が片道2回分ので、このパターンではスタートからずっと等間隔の時間で出会うことになります。

上の例(片道10cmのコースを3cm/秒のAと2cm/秒のB)だと、一回目に出会うのが(10+10)÷(3+2)=4秒で、ニ回目はその4秒後の8秒、つまり4,8,12秒ごとに出会います。

出会う位置

出会う位置を出す時はABどちらかを基準にして(遅いBの方が計算が簡単)4秒,8秒,12秒の位置を出します。

4秒後は2×4でスタートから8cm地点、8秒後は2×8=16cmでスタート地点の手前4cm地点です。12秒後は2×12=24cmでスタート地点を過ぎて4cm地点です。

つまり出会う位置は2×4=8ずつ「Bの進行方向に」ずれていくと分かります。

時間差で出発して一回目の追い付き

これは基本の旅人算の追い付きです。

同時出発して一回目の追い付き

2人の速さの関係によって状況が異なりますが、二人が進んだ道のりの差は「片道2回分」になります。

図3:同地点から出発して1回目の追い付き

二人の道のりの差(点線部分)が「往復2回分」になる

円周上の道(校庭のトラック)を速い方(A)が一周多く走って遅い人(B)に追いつくイメージです。

二回目以降の追い付き

二人の進んだ道のりの差が「片道2回分」になるごとに(等間隔の時間ごとに)出会う。

B:反対側から出発する場合

1回目の出会い・追い付きは「片道1回分」の時間で、二回目以降の出会い・追い付きは「片道2回分」の等時間隔で繰り返されます。

一回目の出会い

基本の旅人算の出会い。二人の進んだ道のりの和が「片道1回分」の時に出会う

ニ回目以降の出会い

一回目の後、二人の進んだ道のりの和が「片道2回分」になるごとに出会う。(同じ地点から出発した場合と同じ)

一回目の追い付き

2人の速さの関係によって状況は異なるが、二人の進んだ道のりの差が「片道1回分」の時に追いつく

図1:反対地点から出発して1回目の追い付き

二人の進んだ道のりの差(点線部分)が「片道1回分」になる

二回目以降の追い付き

一回目の後、二人の進んだ道のりの差が「片道2回分」になるごとに追いつく。(同じ地点から出発した場合と同じ)

旅人算と比

「旅人算を比で解くには?」を見て下さい。

次のステップへ

最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです。

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