作成中]中学受験算数】旅人算とは?基本から応用、ダイヤグラムまでまとめました【速さ

旅人算が難しい」という中学受験生の方、そんな難しい問題に取り組んでいる立派なあなたを助けるために、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します!読んだ後は「旅人算」が前より得意になっているでしょう♪

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旅人算の基本公式

旅人算は離れている2人(以上)の人間が「出会ったり」「追いついたり」する問題です。

図1a:出会い

説明
図1b:追いつき

説明

速さの分野で出てくる色々な公式は「速さの三公式」と形が変わらないので、基本公式を思い出してください。

速さの三公式

①道のり=速さ×時間

②速さ=道のり÷時間

③時間=道のり÷速さ

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

時速4kmで3時間進んだ距離は?→( 4×3=12km )

3kmを36分で進む速さは時速何km?→(36分=3660時間=35時間。 )
→( 35=3×53=5より時速5km)

5kmの道を時速4kmで進むと何時間何分かかる?
→( 5km÷4km/時=54時間=114時間 )
→( 14時間=60分×14=15分なので、114時間は1時間15分)

これが出来なかった人は「速さの基本まとめ」を見るとよいかもしれません。

出会いの旅人算

移動する人や物の速度(矢印)が反対方向を向いている場合です。

実は「出会い」と「分かれる」の2つがあります(ドラマみたいだw)

図1a:「出会う」

(出会うまで)
2人の距離が近づいていく
図1b:「分かれる」

(出会った後などで)
2人の距離が離れていく

出会い

例えば、10cmはなれた点Aと点Bが、それぞれ3cm/秒と2cm/秒の速さで近づく場合を考えます。

図2:

説明書き

二人の進行方向(速さの矢印の向き)が逆の場合、二人の速さはプラス(和)される。

電車や車に乗っていて別の電車や車とすれ違う時は、すごい速さを感じますね。あれは自分の速さと相手の速さがプラスされるから。

この問題では二点ABは3+2=5の速さで近づき、10cm÷5cm/秒=2秒で出会います。

基本公式の「速さ」を「速さの和」に変えると旅人算の公式になる。

旅人算(出会い)の公式

❶出会う時間=2人の距離÷速さの和

②2人の距離=速さの和×出会う時間

③速さの和=2人の距離÷出会う時間

分かれる

近づいてきた二人がすれ違って別方向に離れていく場合も同じ公式を使う

例えば の場合です。

図3:「分かれる」問題の例

説明書き

 

公式にすると、日本語が少し変わっていますが「出会う」場合と中身は同じです。算数が得意な人は覚えなくてもOKです。

旅人算(分かれる)の公式

❶時間=2人の距離÷速さの和

②2人の距離=速さの和×時間

③速さの和=2人の距離÷時間

確認テスト

 

「追いつき」の旅人算

移動する人や物の速度(矢印)が同じ方向を向いている場合です。

実は「追いつく」と「引き離す」の2つがあります

図1:「追いつく」

(追いつくまで)
2人の距離が近づいていく
図2:「引き離す」

(追いついた後などで)
2人の距離が離れていく

追いつく

例えば、2cm/秒の速さで進む点Bを、10cm後ろから点Aが3cm/秒の速さで追いかける場合です。

図2:「追いつく」問題の例

2cm/秒の点Bの10cm後ろから
点Aが3cm/秒で追いかける

離れている二人の進行方向が同じ場合、速さはマイナス(差)される。

車や電車に乗っている時に別の車や電車と並んで走ると相手がゆっくり動いているように見えるのと同じ。

この問題では二点ABは3=2=1の速さで近づき、10cm÷1cm/秒=10秒でAがBに追いつきます。

基本公式の「速さ」を「速さの差」に変えると追い付きの旅人算の公式になる。

旅人算(追い付き)の公式

❶出会う時間=2人の距離÷速さの差

②2人の距離=速さの差×出会う時間

③速さの差=2人の距離÷出会う時間

引き離す

(追いついた後などで)速い方が遅い方を引き離す(差をつける)場合にも同じ式を使います。

例えば、速さ3cm/秒の点Aと速さ2cm/秒の点Bが、同じ方向に向かって同時に出発する場合です(50m競争のイメージ)

図3:「引き離す」問題の例

スタート後、距離は大きくなっていく。

2つの点の距離が7cmになるのは何秒後か考えると、1秒につき3-2=1cmずつ引き離されていくので7÷1=7秒後とわかります。

公式にすると、日本語が少し変わっていますが「追いつく」場合と中身は同じです。算数が得意な人は覚えなくてもOKです。

旅人算(引き離す)の公式

❶時間=2人の距離÷速さの差

②2人の距離=速さの差×時間

③速さの差=2人の距離÷時間

確認テスト

小まとめ

旅人算は大きく分けて「出会い」と「追いつき」の2つがあり「出会い」では「速さの和」を、「追いつき」では「速さの差」を使う。

旅人算の基本

◆速度の向きが反対の場合
(2つの速さの和を使う)
→時間=道のり÷速さの和

「出会う」

「分かれる」

◆速度の向きが同じ場合
(2つの速さの差を使う)
→時間=道のり÷速さの差

「追いつく」

「引き離す」

旅人算とダイヤグラム

(作成中)

 

円周上の旅人算

池の周りの道のような円周状の道を2人がジョギングするような場合が円周上の旅人算です。

直線の時と同じく「出会い」「追いつき」の2つの場合があります。

「出会い」は、例えば のような場合です。

(出会いの図)

 

「追いつき」は、例えば~の場合です。

(追いつきの図)

 

考え方

直線の場合と違って、一度出会ったり追い越したりした後もどちらかが止まらない限り何度も出会ったり追い越したりを繰り返すので複雑に見えます。

しかし「周期」に注目すれば考えやすくなりますよ!

一回目は直線に直してみる

円だと分かりづらいので、直線に直してみる。

出会いの場合はこうなる。

図1:出会いを直線に直す

直線上の旅人算と同じに考えられます

追い付きの場合はこう

図2:追い付きを直線にする

二人の距離は一周分と等しい

こうすれば、一回目の出会いや追い付きは、直線の場合と変わらないので公式で簡単に求められます。

ニ回目以降は円周に戻して考える

二回目以降の出会いや追い付きは、周期的に繰り返されます。たとえば一回目の出会いが3分後なら、二回目の出会いは6分後、三回目の出会いは9分後になります。

この周期時間を元に出会いの場所を計算します。そして、ここからは先程直線に直したのを元の円に戻します。

このように、一回目→直線に直す。二回目→円周に戻す とスッキリ考えられます

 出会う場合

一回目の出会い~直線にする

(周期)時間を求める

一回目は円を開いて直線にします。

図1:円を開いて線にするイメージ

直線上の旅人算と同じに考えられます

こうすれば、二人の距離=一周分の距離を近づく出会いの旅人算になると分かりますね。

例えば、速さ3cm/秒の点Aと速さ2cm/秒の点Bが一周30cmの円周上の同じ場所から反対向きに同時に出発すると何秒後に出会うか
→距離30cmの「出会う」旅人算と同じ
→30÷(3+2)=6秒後

場所を求める

ABどちらかが進んだ道のりを「速さ×時間」で計算します。

例えば「スタート地点から何mか。短い方を答えよ」の場合はBが進んだ道のりを2cm/秒×6秒=12cmと計算します。

このように、遅い方で計算する方が便利です。

ニ回目以降の出会い→円に戻す(周期的)

出会い時間の周期

さきほど円周を直線に開きましたが、ここから元の円周に戻します。

出会った時は、場所はスタート地点でこそありませんが、「同じ場所から出発し反対方向に進む」という状況は同じです。

よって二回目の出会いまでも同じ時間がかかります。二回目から三回目も同じ時間がかかります。

(図)

例えば、速さ3cm/秒の点Aと速さ2cm/秒の点Bが一周30cmの円周上の同じ場所から反対向きに同時に出発する場合、6秒後に初めて出会った後、また6秒後に2回目の出会い、また6秒後に出会い…を繰り返します。

つまりAとBは6秒後,12秒後,18秒後,24秒後…に出会うのを繰り返します(6の倍数)。

出会う地点の移り変わり

出会う時刻の周期が分かると、出会う地点も分かります。

コツは2人いるうちの遅い人に注目することです。

上の例では遅い方のBに注目して2秒ごとの位置を求めれば、それが出会う地点になります。

Bの速さは2cm/秒なので、6秒,12秒,18秒,24秒,30秒後の位置は、スタート地点から12cm,24cm,36cm,48cm,60cm進んだ場所で、この数字を一周分(30cm)で割った余りが出会い地点です。

例えば3回目(18秒後)の出会い地点36cmは、36÷30=1…6なので、1周して6cm進んだ場所と分かります。

出会いの回数で指定された場合

「8回目に出会うのはどの地点でか」のように出会いの回数で指定された場合は遅い方の移動距離を一周で割った余りで求めます

8回目の出会いは6×8=48秒後、2cm/秒のBは48秒後に96cm移動します。

これを一周の距離30で割って96÷30=3…6 これは3周と6cmを意味するのでスタート地点から6cmと分かりますね。

特殊な出会い場所

例えば「ちょうどスタート地点で5回目に出会う」場合を指定されることがあります。

最初の周期を思い出すと、出会い時間が6秒,12秒,18秒,24秒,30秒後で、出会い位置は12cm,24cm,36cm,48cm,60cmとなっていました。

30秒後(5回目)の60cm地点というのが一周30cmのコースをちょうど2周したスタート地点になります。

つまり、30秒ごとにスタート地点で出会うと分かります。

よって5回めにスタート地点で出会うのは30×5=150秒後とわかります。

反対側からスタートする場合

同じ地点でなく、ちょうど反対側からスタートする場合も覚えておきましょう(後で出てくる「往復の旅人算」を理解しやすくなります)

(図)

例えば、速さ3cm/秒の点Aと速さ2cm/秒の点Bが一周30cmの円周上のちょうど反対側の2地点から反対向きに同時に出発する場合です。

(数字つきの図)

2点の距離は一周の半分15なので、最初の出会いは距離15の「出会う」旅人算の式で15÷(3+2)=3秒後です。

この後は距離30の「出会う」旅人算なので、さっきと同じく30÷(3+2)=6秒ごとに出会います。

つまり反対側からスタートする場合は、3,9,15,21秒後に出会うのを繰り返します(はじめの数3,公差6の等差数列です)。

ダイヤグラム

円周上の旅人算をダイヤグラムにすると「ぶつ切り」の平行線になります。

(図)

「X」型に線が交わるのが出会うポイントです。時間を示す横軸の数字を見ると、さっき出した等差数列になっています。

小まとめ

円周上の出会い

◆同じ地点からスタート
最初に出会う時間(T)=一周÷速さの和
二回目以降に出会う時間も同じ
→T×1,T×2,T×3(時間)…に出会いを繰り返す

◆反対側からスタート
最初に出会う時間(t)=半周÷速さの和
二回目以降に出会う時間(T)=一周÷速さの和
→t,t+T,t+T+T(時間)…に出会いを繰り返す
(はじめの数t,公差Tの等差数列)

追いつく場合

直線にする

こちらは一層面倒です。Aがグルグル回ってBに追いつく様子を想像すると目が回りそうですね。これも直線にするとこうなります。

図2:多重の円を直線に直したところ

スッキリします。

最初の状態はこうですから…

図3:最初の状態を直線にする

二人の距離は一周分と等しい

二人の距離が一周分の「追いつき」の旅人算になると分かります。

例えば、速さ3cm/秒の点Aと速さ2cm/秒の点Bが一周30cmの円周上の同じ場所から同じ向きに同時に出発すると何秒後に出会うか考えます。

(図)

Aが一周分30cm離れたBに追いつくと考えれば、距離30cmの「追いつく」旅人算と同じなので、30÷(3-2)=30秒後と分かります。

二回目以降の追いつき周期

出会いと同じく、追いつきの場合も二回目以降は一回目の時間と同じ周期で追いつきが発生します。

上の例では最初に30秒後においつくので30秒周期になります。

つまり30秒,60秒,90秒,120秒ごとに追いつきが発生します。

追いつき地点の移り変わり

出会う場合と同じように、遅い方の人に注目して行きます。

上の問題では速さ2cmのBの30秒後はスタート地点から2×30=60cmつまりちょうど2周したスタート地点で追い越されます。

以降も30秒ごとにスタート地点で追い越されると分かります。

円周の反対側からスタートする場合

例えば、速さ3cm/秒の点Aと速さ2cm/秒の点Bが一周30cmの円周上のちょうど反対側の2地点から同じ向きに同時に出発する場合です。

(数字つきの図)

2点の距離は一周の半分15なので、最初の追いつきは距離15の「追いつく」旅人算の式で15÷(3-2)=15秒後です。

一回追いついた後は、同じ地点からスタートした場合と同じく距離30の「追いつく」旅人算なので、さっきと同じく30÷(3-2)=30秒ごとに出会います。

つまり反対側からスタートする場合は、15,45,75,105秒後に出会うのを繰り返します(はじめの数15,公差30の等差数列です)。

ダイヤグラム

追いつく場合も「ぶつ切り」の平行線になります。

(図)

「人」型に線が交わるのが追いつくポイントです。時間を示す横軸の数字を見ると、さっき出した等差数列になっています。

小まとめ

円周上の追いつき

◆同じ地点からスタート
最初に追いつく時間(T)=一周÷速さの差
二回目以降に追いつく時間も同じ
→T×1,T×2,T×3(時間)…に追いつきを繰り返す

◆反対側からスタート
最初に追いつく時間(t)=半周÷速さの差
二回目以降に追いつく時間(T)=一周÷速さの差
→t,t+T,t+T+T(時間)…に追いつきを繰り返す
(はじめの数t,公差Tの等差数列)

まとめ(公式カード)

算数がすごく苦手な生徒さん以外は、少し細かいですが4種類あると覚えておくと良いでしょう。

 

三人の旅人算

 

 

往復の旅人算(大改訂中)

同じ地点・または反対側から出発した2人のうち片方または両方が折り返して出会ったり追いついたりする問題。

1回出会ったり追いついたりした後は、等間隔の時間(二人の進む道のりの和か差が片道2回分になる時間)で出会ったり追いついたりする。

状況整理が難しいので、予め図の書き方を練習しておきましょう。

A:同じ地点から出発する場合

片道2回分の等時間隔で出会ったり追いついたりを繰り返します。

一回目の出会い(折り返して出会い)

折返しコースのマラソン大会で足の速いAが先に折り返して遅いBとすれ違うような場合です。

図1:「折り返して出会う」

Aは先に折り返して後から来たBと出会う
(マラソン大会のイメージ)

このパターンは2つの利用法があります。

和を利用

コースの長さが分かっているような場合は、ABが進んだ道のり全体を一直線に伸ばします。

図1:「折り返して出会い」和を利用

10
20
ABをぐいっと伸ばすと…
コース2つ分はなれた出会いの旅人算になる

例えば10cmのコースを点Aが3cm/秒で点Bが2cm/秒で同時に出発した場合、コース2つ分(20cm)はなれたABの出会いになるので、20÷(3+2)=4秒後に出会います。

出会う場所は速さ2のBが4秒進んだ場所なのでスタートから2×4=8cm地点です。

差を利用

コースの長さが分からずABが出会った地点が分かっている場合はAだけを一直線に伸ばします。

図1:「折り返して出会い」差を利用

2
4
Aだけをぐいっと伸ばすと…
追い付き(引き離し)の旅人算になる

例えばXY間のコースを点Aが3cm/秒で点Bが2cm/秒で同時に出発して、ABがYから2cm手前ですれ違った場合、伸ばしたAはBより2cm×2=4cm長くなります。

AとBの差が4cmになる「引き離し」の旅人算なので4÷(3-2)=4秒後に出会ったと分かります。

そしてコースの片道は速さ2のBが4秒進んだ2×4=8cmに2cm足した10cmです。

二回目以降の出会い

等時間隔で出会う

一回目の出会いの後、二人が進んだ道のりの和が「片道2回分」になるごとに(等間隔の時間ごとに)出会います。

図2:同地点から出発して2回目の出会い

一回目の出会い(点線)から二人の道のりの合計が「片道2回分」になっている

1回目の出会いも2人の和が片道2回分ので、このパターンではスタートからずっと等間隔の時間で出会うことになります。

上の例(片道10cmのコースを3cm/秒のAと2cm/秒のB)だと、一回目に出会うのが(10+10)÷(3+2)=4秒で、ニ回目はその4秒後の8秒、つまり4,8,12秒ごとに出会います。

出会う位置

出会う位置を出す時はABどちらかを基準にして(遅いBの方が計算が簡単)4秒,8秒,12秒の位置を出します。

4秒後は2×4でスタートから8cm地点、8秒後は2×8=16cmでスタート地点の手前4cm地点です。12秒後は2×12=24cmでスタート地点を過ぎて4cm地点です。

つまり出会う位置は2×4=8ずつ「Bの進行方向に」ずれていくと分かります。

時間差で出発して一回目の追い付き

これは基本の旅人算の追い付きです。

同時出発して一回目の追い付き

2人の速さの関係によって状況が異なりますが、二人が進んだ道のりの差は「片道2回分」になります。

図3:同地点から出発して1回目の追い付き

二人の道のりの差(点線部分)が「往復2回分」になる

円周上の道(校庭のトラック)を速い方(A)が一周多く走って遅い人(B)に追いつくイメージです。

二回目以降の追い付き

二人の進んだ道のりの差が「片道2回分」になるごとに(等間隔の時間ごとに)出会う。

B:反対側から出発する場合

1回目の出会い・追い付きは「片道1回分」の時間で、二回目以降の出会い・追い付きは「片道2回分」の等時間隔で繰り返されます。

一回目の出会い

基本の旅人算の出会い。二人の進んだ道のりの和が「片道1回分」の時に出会う

ニ回目以降の出会い

一回目の後、二人の進んだ道のりの和が「片道2回分」になるごとに出会う。(同じ地点から出発した場合と同じ)

一回目の追い付き

2人の速さの関係によって状況は異なるが、二人の進んだ道のりの差が「片道1回分」の時に追いつく

図1:反対地点から出発して1回目の追い付き

二人の進んだ道のりの差(点線部分)が「片道1回分」になる

二回目以降の追い付き

一回目の後、二人の進んだ道のりの差が「片道2回分」になるごとに追いつく。(同じ地点から出発した場合と同じ)

 

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