中学受験】三角形の底辺比と面積比の問題【等面積

「図形と比」と聞くと「比?相似?底辺?」とやることが多くてイヤになっていませんか?あなたは一気に色々とやりすぎなのですよ。

実は「図形と比」には「相似」とは関係ないものが半分くらいあるのです。ですからまずは「相似」を使わないものだけを学習すると一気にラクになりますよ。

この記事では、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が三角形の面積比を「相似」を使わずに「底辺の比」などを使って解く問題の解き方を分かりやすく図解します。

記事を読めば「図形と比」のうち半分をマスターできるので、その後でゆっくりと「相似」を学習しましょう。

比(復習)

比例式

A:B=C:D」の「A」「B」「C」「D」のうち分からない1つを出す方法(AとDを外項BとCを内項と言います。)

比の構成
A
外項
:
B
内項
=
1
内項
:
2
外項
外側2つが「外項」
内側2つが「内項」

A×D=B×C(外項の積内項の積は等しい)を利用して、内項と外項のうちそろっている方の積を残りの数で割る

例えば「7:5=2:?」の場合、内項がそろっているので内項の積5×2を残りの数7で割って?=107になります。

比例式
7
外項
:
5
内項
=
2
内項
:
?
外項
7x?=5×2を利用して
?=5×2÷7=107

詳しくは「比の基本」を見て下さい(姉妹サイトに移動します)

複数比のそろえ方

全体を2通りに分割する場合

例えば線分ABについて、Xは全体を1:2にYは全体を3:1に分ける時に、AX:XY:YBを求める問題です。

図1:全体を二通りに内分

AX:XY:YBはいくつになるか?

大きく分けて2つの解き方があります。

解法A:比を大きくしてそろえる

Xは1:2に分けるので全体を3に、Yは3:1に分けるので全体を4に分けています。

3と4の最小公倍数は12なので、全体を12に分けると考えます。

Xは12を1:2に分けるので4:8に分けることに、Yは12を3:1に分けるので9:3に分けることになります。

解法A

2種類の比を1種類にそろえる方法その1

説明書き

これでAX:XY:YBは4:5:3と分かりました。

解法B:全体を割合で分けていく

割合を思い出して全体を1と考えます。

XはABを1:2に分けるのでAXは13、XBは23になり、YはABを3:1に分けるのでAXは34、XBは14になります。

解法B

2種類の比を1種類にそろえる方法その2

説明書き

XYは3413=512と分かるので、AX:XY:YB=13:512:14と分かります。

ここで分母(3,4)の最小公倍数が12なので、比を全部12倍して4:5:3になります。

一部を更に分割する場合

例えば線分ABがあってCはABを2:1にDはACを1:2に分ける時にAD:DC:CBを求める問題です。

((図))

こちらも2通りの方法があります。

比を大きくしてそろえる

細かく割合で分けていく

詳しくは「倍数算」を見て下さい(姉妹サイトに移動します)。

底辺比と面積比(三角形)

前提~等積変形

形が違っても、底辺と高さが同じなら面積も等しくなります(等積変形)

((頂点を移動した等積変形))

高さが等しい場合は、面積は底辺で決まります。底辺が2倍なら、面積も2倍になります。

((図))

このように、高さが等しい三角形の面積は、底辺に比例する。

頂点から1回切り分け

△ABCのBCを1:2に分ける点Dをとり、頂点Aからハサミを入れてDに向かって切ります。

頂点から切る

ハサミが嬉しそう♪

△ABCをADで切り分けた△ABDと△ADCは高さが等しく底辺の比が1:2になので面積の比も1:2になります。全体の面積は➀+②=➂になるので、これも書き込んでおきます(後で問題を解く時に役立ちます)。

頂点から1回切り

中の面積比1:2だけでなく
全体の面積3を書くこと

これが「底辺比と面積」の基本ルールです。

底辺比と面積比

→頂点を通る線で切り分ける時、
底辺比と面積比は等しくなる。

三角形を頂点から底辺へ1回切る分割方法。底辺比と面積比が等しくなる。

(例)△ABCを、頂点Aから
BCを1:2に分ける点Dで切ると
△ABDと△ADCの面積比も1:2になる

比から面積を計算

先程の△ABCの面積が36cm2の場合、△ADCの面積は何cm2でしょうか?

比が書いてあれば分配算と同じ様に解けます。

全体➂=36なので、➀=36÷3=12、△ADC=②=12×2=24cm2ですね。

((図))

確認テスト

 

面積から比を逆算

先程の図で△ADCの面積が18cm2の時、△ABCの面積は何cm2でしょうか?

△ADC=②=18なので、△ABC=➂=18÷②×3=27cm2ですね。

((図))

確認テスト

 

頂点から何回か切る

2回以上分ける場合

レ型に2回切る

さっき切り分けるとDが頂点になります。その頂点Dから今度はACを3:1に分ける点Eに向かって切り分けます。

頂点から「レ」形に2回切る

切って出来た頂点からまた切る。

△ADCがさらに3:1に切り分けられて、△ADEと△CDEの面積比は3:1になります。つまり△ADEは△ADCの3/(3+1)=34になり、△CDEは14になります。

△ADCは面積比②だったので、△ADEは②×34=32に、△CDEは②×14=12になります。

頂点から「レ」形に2回切る

三角形を頂点から底辺へ「レ」形に2回切る分割法

面積比は分数混じりでもOK

分数の比になっていますが、計算を始めるまではこのままでも良いでしょう。(整数に直したい場合は全部を2倍して2:3:1になります。)

頂点から「レ」形に2回切る

三角形を頂点から底辺へ「レ」形に2回切る分割法(整数比にそろえたもの)

整数比に直すと、全体6が
2:3:1に分けられている

ト型に2回切る

2回切るには別のやり方もあります。

Dまで切ったハサミを1回ひっこめて、次は別の頂点CからADを3:1に分けるFに向かってハサミを入れる「ト」のような切り方です。

頂点から「ト」形に2回切る

別の頂点から切る(Fでストップ)

この場合、計算は先程と同じで、△ACFの面積比は32、△DCFは12になります。

頂点から「ト」形に2回切る

面積比が分数のままでもOK

どうせ分数のままにするなら、初めの1:2のときも分数にするのも良いと気づいた人もいるでしょう。全体を1とすると割合が出るので便利なことも多いです。

△ABDは全体の13、△ACFは23にする最初の切断の後2回目の切断で34になるので23×34=12になり、△DCFは23にする最初の切断の後2回目の切断で14になるので23×14=16になります。

頂点から「ト」形に2回切る

三角形を頂点から底辺へ「ト」形に2回切る分割法(全体を1として各部分は分数で表している)

面積比を全体に対する割合(分数)で表す方法

さっきの「レ形切り」の方も同じように分数にできます。

「レ」形に2回切る

三角形を頂点から底辺へ「レ」形に2回切る分割法(全体を1として各部分は分数で表している)

面積比を分数で表した

このように、2回切って出来る三角形の面積は、分割の割合を2回かけて求めることができます。

頂点から2回切る

→三角形を頂点から2回切って出来る三角形の
全体に対する割合は、分割の割合を2回かけた数になる。

「レ」形に2回切る

「ト」形に2回切る

3回切る

上のやり方を3回以上行った場合も、同じ様に考えます。

 

等分割

等しい面積に分けられている三角形の辺の分割の比を求める問題。

三等分

三等分には二通りありますが

底辺で三等分するパターン2通り

問われるのは右のパターン

左のパターンは下の辺が1:1:1に分けられるのは明らかなので、問題になるのは右側のパターンです。

まず左端と真ん中の部分に注目すると下の辺は1:1と分かります

三等分(その1)

まず下の辺が1:1と分かる

次に左端と真ん中を合わせた形と右端の部分に注目すると、左の辺は2:1と分かります。

三等分(その2)

左の辺は2:1と分かる

まとめると、こうなります

三等分(結果)

下辺は1:1、左辺は2:1に分けられた

この比を作ることができれば、どの問題にも答えられるでしょう。

四等分

四等分には4つのパターンがありますが

図1:

説明書き

上のパターンに一部分を付け加えたパターンが一番出題されます。

4等分の問題

一番よく出る分け方

図のBE:EF:FCを求めましょう。

実は、線分FC以外はさっきの三等分のときと同じ分け方なので比も同じです。

四等分の比(途中経過)
三等分の結果
四等分

途中までは三等分の比と同じ

ここで△ABFと△AFCに注目すると、面積が3:1なので、底辺BF:FCも3:1と分かります。

四等分(その3)

BF:FC=3:1と分かる

これまでに分かったことを図にすると、こうなっています。

四等分(その4)

BCは丸数字と五角数字の
2通りの比で分けられる。
この比をそろえれば終了

BからCまでが「1:1」と「3:1」の二種類の比になっているので、これを一つの比にできれば終了です。

BEとEFはBF(3)を半分にしているのでそれぞれ3/2になります。つまりBE:EF:FC=3/2:3/2:1です。分数ですが、これで比がそろいました。

四等分(その5)

分数混じりだが、
BE:EF:FCが分かった

全部を2倍すればBE:EF:FCは整数の比で3:3:2になりました。

四等分(結果)

BE:EF:FC=3:3:2と分かった

他の4等分パターンの比は単純です。

図1:

説明書き

五等分

五等分は8パ ターンあります。一番出題されるのはさっきのパターンの「続き」のパターンです。

五等分(その1)

AG:GD:DBと
BE:EF:FCを求める

AG:GD:DBとBE:EF:FCを求めましょう

途中までは同じになります。

五等分(その2)

途中まではさっきの四等分と同じ

△と△に注目してAG:Gb=1:4を求めます。AB上には「1:1」と「1:4」の二種類の比が混じっています。

5等分(その3)
AG:GB=1:4

比を確認
AB上の2種類の比を求める

四等分と同じ様に比を揃えます。GB(4)をDは1:2に分けているので、GD=4×1/3=4/3、DB=4×2/3=8/3になります。これらを3倍して整数にすると3:4:8になります。

5等分(その4)
図a
分数でそろえて…
図b

3倍すると整数比に
AB上の二種類の比をそろえて終了

これで、AG:GD:DB=3:4:8、BE:EF:FC=3:3:2と分かりました。

六等分

一番問題になるパターンと解答のみ載せておきます。

6等分の問題の例
問題
AG:GD:DBと
BE:EF:FH:HCを求める
解答

AG:GD:DB=3:4:8
BE:EF:FH:HC=15:15:10:8
面倒ですが試してみましょう

等分の問題は以上です。

辺から辺へ切る

ハサミを頂点ではなく辺に入れて切り分けることもあります。

例えば△ABCの辺ABを1:1に分ける点Dと辺をに分けるEを結ぶように切った場合、△ABC全体を1とすると△ADEはいくつになるかという問題です。

辺から辺へ切る(1)

頂点から2回切ったのと等しい

この分け方は実は、さっきの頂点から2回切ったのと同じです。

((図))

したがって△ADEは△ABC全体の12×23=13 になると分かります。

頂点から頂点へ切る(2)

説明書き

 

上のような考え方をテストでぱっと使えるように公式にすると次のようになります。

三角形を辺から辺に切り分ける

→三角形の二辺をa:bとc:dに分ける点を結んで切り分けると、
先端側の面積は三角形全体のa/(a+b)×c/(c+d)になる。

(例)上の図で△ は△全体の × = になる。

 

 

三辺延長拡大

三角形の三辺を延長した先を結んで出来る大きな三角形が、元の三角形の何倍になるかを考えます。

5:三辺延長拡大

△ABCの三辺を伸ばして△PQRを作った。PB:AB=2:1,QC:CB=3:2,RA:CA=3:1の時、△PQRは△ABCの何倍か
考え方

周りに出来る三角形を分割して考えます

解説

まわりに出来る△PQB,△QRC,△PARがそれぞれ△ABCの何倍かを考えます。

まず、問題文から線分の長さの比を読み取って書き込みます。

図1:

線分の比を書き込む

はじめに左上の△PQBをQAで2等分してできる三角形の1つ△AQBに注目

(図)

△AQBは△ABCと高さは同じで底辺が1/2になっているので面積は1/2倍。

2等分してできるもう1つの三角形△PQAも同じく1/2になるので、2つを合わせて△PQBは△ABCの1/2倍+1/2倍=1倍と分かる。

同様に考えると△QRCは3倍、△PARも3倍になる。

図1:

まわりの三角形を分割して
△ABCとの面積比を求める

これらを全部合計すると、新しくできた3つの部分の合計は△ABCの1+3+3=7倍です。

したがって△PQR全体は△ABC自身も合わせて、7+1=8倍になります。

8

確認テスト

交差切り

この辺りから難しくなってきます。

前提知識

対角線の比=面積比

今までの単純な底辺比にプラス

四角形を対角線で分割した三角形の面積比から、高さにあたる対角線の分割比を求める。

((図))

これを使います。

交差切りの図

例えば、図のような△ABCでDが辺ABを1:1に分けてEはACを2:3に分けている時、DF:FCを求めます。

相似を習った後なら、相似でも解けます。

(図)

優しい問題ではコチラの方が簡単なこともありますが、問題が複雑になるにつれて面積比を使ったほうが易しくなります。

雪印(*)切り

底辺比と面積比の終点がこの「雪印切り」で、これが解ければ入試問題も半分以上が解けるでしょう。

雪印(*)切り

 

基本問題

 

「三角形の底辺比と面積比」は以上です。理解できた人は「四角形の並行分割」に進んで下さい。

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