中学受験】速さの基本問題を分かりやすく図解(単位・三公式・ダイヤグラム)

「速さを予習しておきたい！」という中学受験生の方、その心がけ素晴らしいです。まかせて下さい！

それに対して、最近塾で「速さ」を初めて学習して「思ったより簡単じゃん。楽勝♪楽勝♪」と思っている人は、危ない！

「速さ」は5年6年にかけては受験算数全体でも一番難しくなります。今のうちに「応用につながる基本」を固めておかないと、後で泣きますよ(マジで)

この記事では、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が入試や応用問題につながる速さの基本を詳しく分かりやすく説明します。

記事を読んで真似すれば、速さが得意になる準備が整って、学年が上がって速さが非常に難しくなっても「楽勝♪楽勝♪」とこなせるかもしれませんよ！

目次をクリックすると好きなところにジャンプできます。

速さの基礎
(受験小4)(学校小6)

速さの意味

「速さ」って何でしょうか？

「速さ」とは「単位時間あたりに進む」「道のり」です。

「単位時間」というと難しく聞こえますが、「1秒」「1分」「1時間」など時間の単位に「1」をつけたものです。

例えば「時速」＝「1時間で進む」「道のり」という意味です。

だから「時速4km」＝「1時間で」「4km」進む速さ になります。

同じように考えると、
分速＝「1分間で進む道のり」
秒速＝「1秒間で進む道のり」
になります。

確認問題
次の速さが意味することを答えなさい
(1)時速4km
→1時間に進む道のりが4kmであること
(ちなみに、これは人が歩く速度です)

(2)分速60m
→1分間に進む道のりが60mであること
(ちなみに、これも人が歩く速さです。)

(3)秒速600m
→1秒間に進む道のりが600m！であること
(ちなみに、これは銃の弾丸の速度！です)

速さの公式

「速さの問題」で聞かれるのは「道のり」「時間」「速さ」の3つです。それぞれを求めの方を考えます。

道のりを求める

「時速4km」で歩く人が「3時間」歩いた道のりはどれくらいでしょう？

はじめの1時間で4km、次の1時間でさらに4km、最後の1時間でさらに4km…合計すると12kmです。

これを一発で出すと「4_km/時✕3_時間=12_km」というかけ算になります。これが「道のり」を出す公式になっています。

速さを求める

では、10kmを2時間で歩く人の速さは時速何k mでしょうか？

時速は「1時間で進む道のり」なので、2時間で進んだ10kmを2等分すれば良いですね。10÷2=5kmと分かります。

今の式「道のり÷時間」が速さを出す公式になっています。

時間を求める

12kmを時速3kmで歩くと何時間かかるでしょうか？

最初の1時間で3km、次の1時間で3km…この合計が12kmになるまで続けるので、12の中に3がいくつあるか、つまり割り算をします。

12÷3=4 で4時間かかると分かります。

今の式「道のり÷速さ」が時間を求める公式になります。

公式の覚え方

この3つを「速さの三公式」と言います(この名前はどうでも良いですｗ)

公式を覚える

算数好きの生徒さんなら問題を解いているうちに公式は自然に覚えることもありますが、算数が苦手な生徒さんの場合は(最低限の理解はした上で)公式を反復して記憶してしまう方が良いです。

速さの公式を覚えるのに、カブトムシのような「みはじの図」が有名なのですが(図➀)

もっと良い覚え方があります(「みはじ」という言葉は使います)。

覚えるのは次の三つの事柄ですが、道のりを覚えれば終わりです(太字にしてあります)。

➀速さの問題で出てくる数は「道のり(み)」「速さ(は)」「時間(じ)」の三種類
➁かけ算で出すのは「道のり(み)」
➂わり算は「道のり(み)÷」ではじまる

そして、覚える際は一切の迷いなく早口言葉のように早く言えるようにします。さもないと試験では使えませんからね。

そのためには公式に出てくる言葉「道のり」「速さ」「時間」「かける」を「み～」「は～」「じ～」「かけ」と短くすると言いやすいです。こんな感じです。

➀み＝は×じ「み～いこーるは～かけじ～」
➁は＝み÷じ「は～いこーるみ～わるじ～」
➂じ＝み÷は「じ～いこーるみ～わるは～」

これを何度も音読して体に覚えさせましょう。覚えた人は確認テストを。

速さの基礎を詳しく見たい人は姉妹サイト「そうちゃ式 別館(算数/数学)」の「速さの基本」を見て下さい。

速さと単位

速さの問題は公式を使う前に単位を直したりしないといけないことがあります(難しい理由の一つ)

速さの単位

今まで出てきた単位に比べると、速さの単位は複雑です。なぜなら速さの単位は2つの単位を含んでいるからです。

例えば「時速50km」は時間を表す「時」と長さを表す「km」を含んでいます。

そして、時間と長さの単位の組み合わせで速さの単位はかなり沢山作れます。ざっと挙げると…
「秒速◯mm」「秒速◯cm」「秒速◯m」「秒速◯km」
「分速◯mm」「分速◯cm」「分速◯m」「分速◯km」
「時速◯mm」「時速◯cm」「時速◯m」「時速◯km」

ただ、実際に使われているのは
「秒速◯cm」、「分速◯m」、「時速◯km」
この3つが多いです。

速さの単位を変更する(準備)

上で書いたように速さは2つの単位を含んでいるので変換が面倒くさいです！

コツは、頭が混乱しないように、まず「時間」「長さ」のどちらか一方だけの変換を行い、それが終わったら残りの変換を行うことです。

単位時間の変更

分速と秒速の関係を考えると…分速は1分間で進む道のり＝60秒で進む道のりです。一方、秒速は1秒間で進む道のりなので、分速は秒速の60倍になります。

例えば、秒速2cmを分速に直すと、2cm×60=120cm なので 分速120cmになります(長さの単位をmに直すのはひとまずおいて)。

図1:秒速から分速へ

60倍して秒速を分速に直す

同じように、時速は分速の60倍です。例えば分速50mを時速に直すと、50m×60=時速3000mになります(長さの単位をkmに直すのは後にしましょう)

図2:分速から時速へ

同じく60倍する

さらに秒速と時速を比べると、時速は秒速の60倍の60倍なので、60×60=3600倍になります。秒速2cmは2cm×3600=時速7200cmになります(長さの単位は後で直しましょう)

図3:秒速を時速へ

60×60で3600倍になる

このように、秒速→分速→時速にするたびに60倍されていきます。

反対に、秒速は分速を60で割った大きさに、分速は時速を60で割った大きさになり、秒速は分速を3600で割った大きさになります。

ただ、60で割ると割り切れない場合が多いので、代わりに×160とするのをすすめます。

このように単位時間の変更は「横」のイメージです。

確認テストをどうぞ。ここでは長さの単位は変えないので数が大きくなったり小さくなったりしますが、気にしないで下さい(このすぐ後で分かりやすくなります)

長さの変更(復習)

次は長さの変更です。これは復習になりますが、一応確認します。

これを使って、速さの「長さ」だけを変換してみます。

例えば、「時速5000m」は5000m=5kmなので「時速5km」になります。また5000m=500000cmなので「時速500000cm」とも言えます((汗))

先程の単位時間の変化を「横」とするならこちらは「縦」の変化としておきましょう。

確認テストをどうぞ

速さの単位を変える

いよいよ「単位時間」と「長さ」の両方を変える問題です。

単位時間を大きくする

一段階の変化

例えば「秒速100cmは分速何mか」を考えます。

➊まず秒速を60倍して分速に直します。 秒速100cm→分速6000cmです。

➋次にcmをmに直します。分速6000cm→分速60mです。これで秒速100cmは分速60mと分かりました。

実際には計算はまとめて1回で終わらせます。

単位変換の実際の計算

100cm/秒×60×1100=100×60×1100=60m/分

分数にしてしまえば、
一発約分して計算終了♪

このように、単位時間を大きくする場合はまず単位時間を直してから長さの単位を直すのが簡単です。

図では「横(単位時間)→縦(長さ)」のイメージです。

二段階の変化

今度は秒速80cmは時速何kmか、二段階に変化させます。

まず横(→)に一気に二段階3600倍して80×3600=時速288000cmになります。次に縦(↓)に1/100して2880m/時。更に縦(↓)に1/1000して2.88km/時と分かります。

この場合も、実際の計算はまとめて1回で終わらせます。

単位変換の実際の計算

80cm/秒×3600×1100×11000=80×3600×1×1100×1000

=8×36100=7225km/時

(または)=288100=2.88km/時

最後の分母を10にすら約分できないと
気づいたら、100のままにして小数にしても良い

単位時間を小さくする

一段階

時速3.6kmは分速何mか考えます。

ここで時速を分速に直すには3.6を60で割らないといけません(または×160)。ちょっと面倒です。

そこで長さの単位の方を先にkmからmに直します。時速3.6km=時速3600mです。これで割りやすくなりました。

次に時速を60で割って(×160して)分速に直すと分速60mと分かります。

実際には計算はまとめて1回で終わらせます。

単位変換の実際の計算

3.6km/秒×1000×160=3.6×1000×160=3600×160=60m/分

小数を整数にしてから約分する

このように、単位時間を小さくする場合はまず長さを直してから単位時間を直すのが簡単です。

図で見ると「縦(長さ)→横(時間)」です。

ニ段階

最後は時速2.7kmは秒速何cmか出してみましょう。

まず縦(↑↑)に1000倍,100倍して270000cmに直します。これを横(←←)に×13600して2700003600=270036=3004=75cm/秒と分かります。

この場合も、実際の計算はまとめて1回で終わらせます。

単位変換の実際の計算

2.7km/時×1000×100×13600=2.7×1000×1003600

=270036=75cm/分

分子の小数を整数にしてから約分する

では、確認テストをやってみましょう。

 

時間の単位をそろえる

基礎(復習)

時間の単位について復習します。こうでした。

そろえ方

速さの問題では、時間は「時間」「分」「秒」のどれかにそろえないと公式が使えません。

たとえば1時間20分そのままでは計算に使えないので、「○時間」か「●分」に直さないといけません。

時間→分(分→秒)

「分」にそろえる場合、1時間=60分なので、1時間20分=60分+20分=80分です。

分→時間(秒→分)

反対に「時間」にそろえる時は、20分を時間に直します。ちょっと悩むかもしれません。

1時間=60分なので20分は2060時間、約分して13時間と考えて、1時間20分=113時間=43時間です(かけ算か割り算をするので仮分数に直しておくと便利です)。

いちいち約分するのが面倒くさい場合は、よく出てくる数字と分数の対応を覚えてしまうと良いでしょう。

例えば「12分→15時間」と憶えておけば、36分=12分×3=15時間×3=35時間 とパッと暗算できますね

理解できた人は、確認テストをどうぞ

X-1:時間の単位変換

□に入る数を答えなさい(帯分数は仮分数になおすこと)

35分=□時間

解説

1分=160時間なので、35分=3560=712時間です。

712

ｳﾗ技

慣れてきたら「5分=112時間」と憶えておいて、35分=112x7=712時間、と1秒で出しましょう♪

1時間15分=□時間

解説

15分=1560=14時間なので、1時間15分=114時間=54時間です。計算で使うのは仮分数なので、答えに書くまでは仮分数にしておきます。

54

2時間48分=□時間

解説

48分=4860=45時間なので、2時間48分=245時間=145時間です。

145

23時間=□分

解説

1時間=60分なので、23時間=23x60=40分です

40

ｳﾗ技

少し慣れたら「13時間=20分」と憶えておいて、

23時間=20分x2=40分 と0.5秒で出しましょう♪

0.4時間=□分

解説

小数も分数と同じように計算します。

1時間=60分なので、0.4時間=0.4×60=24分です

24

215時間=□分

解説

2時間=2×60=120分、15時間=15x60=12分なので、215時間=120+12=132分です

132

別解

215時間=115時間=115x60=132分　計算に自信がある人はコチラでも良いでしょう

分かりましたか？

これで速さの文章問題を解く準備が出来ました♪

速さの文章問題

文章で書かれている問題です。

速さの状況図

例えば「300m離れた駅に向かって9時58分に家を出発したAさんが駅に10時3分についた時、Aさんの速さを求めなさい」という問題

聞かれているのは「速さ」ですが、いきなり答えを出そうとせずに、まず問題文を図にしてみます。

❶「家」と「駅」を両端に線分を書いて道のり300mを書きます。
❷家を出発する人と時刻「9:58」を書きます。人の速さが書いていないので「?」にしておきます。
❸駅に到着した人と時刻「10:3」を書きます
❹家から駅にかかった時間は5分なのでそれも書きます

これで問題文を全て図にしたので、ここから速さ「?」を考えます。

速さの公式「は＝み÷じ」を思い出して道のり300ｍと時間5分を使って、速さ＝300m÷5分＝60m/分と分かりました。

❺この数字も図に書き込んで終了です。

確認テスト(作成中)

速さが変わる問題

速さが変わる問題では、スタート地点だけでなく速さが変わった場所にも人と速さ(と時刻)を書きます。

例えば「学校の登校時刻は8:20分までです。Aさんは8:10に家を出て、はじめ分速50mで歩いたが途中で時計をみたら登校時刻まで6分しかなかったのでスピードを分速80mに上げて学校まで歩いたら4分前に学校についた。家から学校までは何mあるか？」を考えます。

人を書き足す

さっきと同様に、まず状況図を書きます。

❶家と学校を両端に線分を書きます。道のりは書き込まなくてもOK
❷家を出発する人と時刻・速さを書き込みます
❸スピードをアップした場所をテキトーに決めて、人と速さを書き足します。時刻は8:20の6分前なので8:14と分かります。
❹学校についた人を書きます。時刻は8:20の4分前なので8:16と分かります。

ここから、分かることは何か考えてさらに書き込みます。

❺図を書くと50m/分で歩いた時間が4分、80m/分で歩いた時間が2分と分かるので書き込みます。
❻50m/分で歩いた道のりが50×4=200m、80m/分で歩いた道のりが80×2=160mと分かるので書き込みます。
❼学校までの道のりが200+160=360mと分かりました。

確認テスト(作成中)

複雑な問題

例えば「Aさんは本屋に本を買いに60m/分の速さで10時に家を出発したが、120m歩いたところで途中で財布を忘れたことに気づき同じ速さで家に戻った。5分で財布を探してから、さっきの1.5倍の速さで再び本屋に向かい　10時13分に本屋についた。家から本屋までは何mか？」

図がゴチャゴチャに…

今までのように状況図を書いてみると

行ったり来たりしているので、図がかなりゴチャゴチャになりました(汗)

もともと、速さの問題は他の分野の問題よりも図を書くのが難しいのです。

難しくなるのは、異なる時間帯の状況を一つの図にまとめているからからです。

時刻ごとに状況図を分ける

そこで、時刻ごとに状況図を分けて書いてみます。

❶スタート(10:00)(速さ60)
❷引き返すところ(120m)
❸家に引き返したところ。
➍5分間の財布探し
➎再スタート(速さ60×1.5=90)
➏図書館に到着(10:13)

 

➐引き返す120m先まで行くのにかかる時間120÷60=「2分」で戻るのにかかる時間も同じ「2分」です。

これで家を再び出発したのが10時9分と分かるので、➑図書館までの時間が4分で、➒道のりは90×4=360mと分かりました。

分けて書くのが面倒くさいように思えますが、分けることでアレコレ考えずに書くことに集中できますし図も余裕があるので図を見て考えやすくなります。

この後問題が難しくなったとき(人の数が増えたりします)に、これが威力を発揮するので真似してみて下さい。

確認テスト(作成中)

平均の速さ(受験小5)

「平均の速さ」の意味

最近乗った電車を思い出してください。

止まっていた電車が駅を発車した後スピードが上がっていきます。そのスピードでしばらく走った後、次の駅に近づくとりスピードが下がっていき停車…という風にスピードが変わりますね。

さて、ここで「電車の速さは？」と聞かれたら何と答えればよいでしょうか？最高速度では速すぎるし…意外と答えづらくありませんか？

そこで、電車が走った「道のり」をかかった「時間」で単純に割った速度を「平均の速度」としています。

基本の公式と並べてみると、日本語が少し変わっただけで、中身は変わっていないのが分かります。

問題を解いてみましょう

5-1-1:平均の速さ

爽太君は電車でA駅からB駅C駅を経てD駅まで向かいます。AB間は6km、BC間は10km、CD間は8kmです。A駅を10時30分に出発し、D駅に11時10分に到着しました。この電車の平均の速さは時速何kmか？

解法

「平均の速さ＝全部の道のり÷全部でかかった時間」の公式で計算します

解説

全部の道のりは6+10+8=24km全部でかかった時間は11:10-10:30=0:40で40分

求める答えは「時」速なので「分」を「時」に直しておきます。1時間は60分なので、40分=4060=23時間です

以上より、平均の速さ=(全部の道のり)÷(全部でかかった時間)=24÷23=36km/時になります。

36km/時

往復する場合

同じ道のりを往復した場合が良く問われます。

平均の速さを求める

4-2:往復の平均の速さを求める

6kmの道のりを、行きは4km/時で帰りは3km/時で往復した時、平均の速さは時速何kmか？

(解説)

まず状況図を書きます。ここでは一つにまとめて書きました。

図:最初に書く状況図

問題文の「6km」「4km/時」「3km/時」
を図に書きこむ

速さの三公式で時間が計算できるので、聞かれていなくてもすぐに計算して書き込みます。

図:状況図が完成

時間を計算して書き込んだところ

これを見ながら「平均の速さ＝全部の道のり÷全部でかかった時間」の式を作ればOKです。

全部の道のりは片道6kmの往復なので、6×2=12km

全部でかかった時間は32+2=72時間です。

したがって、往復の速さは12÷72=247=時速337kmです

337
km/時

((図))

平均の速さは中途半端な数字になることがあるので最初から分数で計算しましょう。

往復の場合も入れて公式にすると次のようになります。

途中の速さを出す

4-3:途中の速さを求める

Aさんはサイクリングに出かけたが、6km走ったところで自転車が壊れたので、自転車を置いて時速6kmで走って家まで戻ってきた。
このときの平均の速さが9km/時だったとすると自転車の速度は時速何kmだったか？

解説

まず問題文の数値だけを使った状況図を書きます。

図1:最初の状況図

問題文の数値だけを書いた状態

速さの公式で帰りにかかった時間が1時間と分かります。

また往復の速さの公式を変形した「往復にかかった時間=往復の道のり÷平均の速さ」を使うと、往復にかかった時間が12÷9=43時間と分かります。

図2:

公式を使って時間を出す。

これで行きにかかった時間は43-1=13時間と分かります。

図3:

行きにかかった時間を出す

自転車は6kmを13時間で走ったので、自転車の速さ=6÷13=18km/時と分かりました

図4:終了時の図

行きの速さが分かりました

18km/時

小まとめ

平均の速さの公式をまとめるとこうなります

もっと問題を解きたい人のために、記事下にオススメ教材を紹介しています。

ダイヤグラム(受験小5)

状況図以外にも、便利な図があります。それが「ダイヤグラム」です。

ダイヤグラムの意味

A君は家から720m離れた公園に散歩に出かけました。はじめは40m/分で歩き、480m先のコンビニの前で80m/分に速度を上げて公園まで歩きました。公園で10分休んだ後、60m/分で家に戻りました。

これを状況図にして、時間は計算して書き込んでしまいます。

全部で12(行き1)+3(行き2)+10(休憩)+12(帰り)=37分かかったと分かります。

このA君の散歩を「ダイヤグラム」にするとこうなります

状況図と比べると大体の意味は分かるのではないでしょうか？

縦軸の数字(①)は出発点からを、横軸の数字(②)は出発時からの時刻を示します。

ここではダイヤグラムは山のようになっています。右上りの部分(➂)は、出発点からゴール(折り返し点)まで進んだことを表します。反対に④右下りの部分は出発点に戻ることを表します。

ダイヤグラムの傾きが急な部分(⑥)は速く移動していることを表します。傾きがゆるい部分(⑦)はゆっくり移動していることを表します。平らな部分(⑧)は止まっている(休んでいる)ことを表します。

速さの三公式(道のり、速さ、時間)のうち、「速さ」は直接書いてありません。グラフから自分で計算しないといけません。

例えば、家からコンビニまでの速さを求めるにはグラフ上で家からコンビニまでの距離と時間を240m、12分と読み取って、240m÷12分=20m/分と計算します。

以上がダイヤグラムの意味と読み方です。

 

練習問題で定着

 

 

速さのつるかめ算(受験小5)

つるかめ算は「面積図を使った方法」と「使わない方法(置き換え法)」がありますが、ここでは「面積図を使った方法」で解きます。(小数や分数が答えになる分野では面積図を使います。)

速さの面積図

ここまでに速さの状況図、ダイヤグラムを練習しましたが、速さは面積図にすることもできます。

「道のり=速さ×時間」は「長方形の面積=たての長さ×よこの長さ」と同じ関係なので、同じような面積図になります。

例えば、時速4kmで3時間歩くと12kmを進みました

これを面積図にすると、こうなります。

途中で速さが変わる場合

状況図の説明をした時に速さが変わる問題(例題2)がありました。

例題2をもう一度見てみましょう。全6分間で360mを進みましたが、➊はじめの4分は50m/分で➋残り2分は80m/分で進みました。

ここでは、全部の道のり360mは50×4=200mと80×2=160mの和です。

すると「(50×4)+(80×2)=160」が作れます。これはL字形の面積図が表す関係と同じです。

つまり、速さを変えた場合の面積図は「L字型の面積図」になるのですね。

こういうわけで、速さが変わる場合はつるかめ算と同じような問題を作れるのです。

解き方を理解

例えば「家から780m離れた駅まで、はじめは120m/分で走ったが途中で疲れて速度を50m/分にしたら、駅まで10分かかった。歩いたのは何分か？」という問題を考えます。

L字型の面積図はこうなります。面積は道のり780で左の高さがはじめの速さ120、右の高さがあとの速さ50、歩いた時間？を求めます。

まず➊L字形を包む大きな長方形を作ります。面積は(4+6)×120=1200です。次に➋大きな長方形とL字形の間に「欠け形」を作ります。欠け形の面積は1200-780=420です。

➌欠け形のたての長さは120-50=70なので、欠け形のよこの長さ(?と等しい)は420÷70=6です。

これで走っていたのは6分と分かります。

もっと問題を解きたい人は参考記事「速さのつるかめ算」を見て下さい。

おすすめ教材

歴史の点数を上げたい受験生と保護者の方へ

年表・年号・地図・書き取りテストなど400枚のプリントがセットになった歴史教材で模試入試対策♪ 興味がある方はコチラへ