[作成中]中学受験】円・おうぎ形の基本問題まとめ【草を食べる範囲、バームクーヘン形

中学受験生の方へ

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。

記事を読んで真似すれば、円やおうぎ形の問題が得意になっていくでしょう♪

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円の構成

円は、ある一点(=「中心」)から等しい点の集合です。

円を作るパーツ

直径は半径の2倍

中心を通り、円を横切る直線を「直径」、その半分(中心から円まで引いた直線)を「半径」と言う。

この直径と半径を使った問題があります。

例題1

図1:
後乗せ文字の例

説明書き

例題2
大中小3つの円が図のように重なっている。大円の半径が7cm、中円の半径が5cmの時、小円の半径は何cmか

図1:
説明書き

円と角度

円の中に線を引いて三角形を作る問題

円内の三角形の特徴

半径を2本使う三角形は二等辺三角形になり、頂角が60°の場合は正三角形になる

((図))

行き詰まったら、自分で「半径を2本使う三角形」を作ってみると良い

((図))

三角定規を利用する

底角が15°の二等辺三角形(Aとする)の面積を求める。

まず半径の一つを延長して直径にする

((図))→((図))

外角の性質から15+15=30°が出来るので、ここに30°60°の三角定規(Bとする)を当てると、Aの高さが半径の半分と分かる!

((図))

これでAの面積を求められます。

直径を使う三角形

直径を一辺とする三角形は必ず直角三角形になる。

(図)

円周上を動く3つの点が作る角度の問題で、この知識が使える

(図)

円周を等分する点(多角形)

円周を等分する点から中心への半径2本を使った三角形

例えば、円周を5等分する点の場合

((図))

この三角形の頂角は360÷5=72°になる

円の計量

円周(まわりの長さ)と円周率

直径の長さを何倍したら円周の長さになるかを円周率と呼び、入試では「円周率を3.14にして…」と指定してある。

この場合、直径の3.14倍が円周の長さということで、例えば、直径6cmの円の円周の長さは、6×3.14=18.84cmになる

((図))

ただ、計算する時は「直径」ではなく「半径」を使うことがほとんどなので、円周の公式も「直径」を「半径×2」に直した形「円周=半径×2×3.14」でおぼえておく。

円の面積

円の面積は「半径×半径×3.14」で求めることができる。

 

公式になる理由

興味がある人はどうぞ

ピザを分けるように半径で円を細かく分け、円周だった部分を下にして並べる

(円の図)→(8等分を並べた図)

さらに細かく分けて等積変形すると、底辺が円周(直径×3.14)で高さが半径の三角形の面積になる。

(24等分を並べた図)→(三角形の図)

三角形の面積=底辺×高さ÷2なので、この図形の面積は(直径×3.14)×半径÷2になる。

(直径×3.14)×半径÷2→かけ算の順番を変える→半径×3.14×(直径÷2)=半径×3.14×半径=「半径×半径×3.14」になりました♪

円の公式をまとめると、こうなります。

円の計量

●円周の長さ
=半径×2×3.14

●円の面積
=半径×半径×3.14

確認テスト

 

 

おうぎ形

おうぎ形の意味

成り立ち

おうぎ形は円を2本の半径で切り取ったもの。

「おうぎ(扇)」の形に似ているので「おうぎ形」です

ピザ1切れの方が馴染みがあるかも

構成

中心 半径 弧 中心角

もとになる円(点線)

(図)

もとの円に占める割合

例えば中心角が90°のおうぎ形の場合、もとの円にしめる割合は1/4と分かります。

この「1/4」は「90/360」を約分したもので、この90°は中心角です。

(図)

「中心角/360」つまり「おうぎ形が元の円にしめる割合」は非常に重要なので、代表的なものは憶えて下さい。

(90°系の図)

(60°系の図)

(45°系の図)

(72°系の図)

おうぎ形の計量

おうぎ形は円の一部なので、公式も円のそれと途中までは同じです。

おうぎ形の弧の長さ

おうぎ形の弧の長さは、もとの円の円周×おうぎ形の割合です

弧の長さ=半径×2×3.14×中心角/360

おうぎ形の面積

おうぎ形の面積は、もとの円の面積×おうぎ形の割合です

おうぎ形の面積=半径×半径×3.14×中心角/360

おうぎ形の中心角

上の2つを逆算すると公式ができますが、暗記しなくても平気です。

おうぎ形の計量

●おうぎ形の弧の長さ
=半径×2×3.14×中心角/360

●おうぎ形の面積
=半径×半径×3.14×中心角/360

確認テスト

円とおうぎ形の複合問題

3.14の計算の工夫

円とおうぎ形の複合問題を解く際に、3.14のかけ算が何度も出てくる。

これらを一つ一つ計算するのは時間がかかるしミスする可能性もあるので良くない

そこで、3.14の計算を一つにまとめて、3.14の筆算は一度だけにする

確認テスト

円とおうぎの組み合わせ

ひとだま

 

重なり

おうぎ形の差(バームクーヘン)

半径が異なり中心角が同じおうぎ形の差を求める

 

多角形内部のおうぎ形

N角形の内角の和=180×(N-2)を使うと、中心角の合計が分かる

 

ひもの先端が動く範囲

半径が異なるおうぎ型の組み合わせ

 

 

おしらせ

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「歴史年表をダウンロード」を御覧ください。

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爽茶そうちゃ
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