[作成中]中学受験】円/おうぎ形/正方形等の融合問題【レンズ/バナナ/ブーメラン

円・おうぎ形と四角形が組み合わさった問題が面倒くさくて…」という中学受験生の方へ

確かに、色々と面倒くさいですね。しかし、いくつかの工夫を覚えればだいぶラクになりますよ!

この記事では、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。

記事を真似すれば「角円総合」問題が苦手ではなくなっているでしょう♪

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円・おうぎと三角形

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

円の中の三角形

円の中で、半径を2つ使う三角形は二等辺三角形

((図))

交わる2つの円に出来る三角形は正三角形

((図))

円の折返し

 

 

重なる形

 

 

等積重複パターン

よく出題されます

合同図形の重なりを使う有名な問題
問題
1/4円を三等分
斜線部の面積を
を求める
重なり

はみ出た部分は
等しいので
等積変形後

中心角30°の
おうぎ形の
面積になる
左の斜線部の面積は
右の扇形の面積と等しくなる

 

正方形と円

ひし形としての正方形

正方形は長方形(4つの角の大きさが等しい=直角)とひし形(4つの辺の長さが等しい)の性質を兼ね備えているので、面積を求める公式も長方形型の「一辺(たて)×一辺(よこ)」とひし形型の「対角線×対角線÷2」の二種類が使えます。

正方形の面積

●長方形型の公式
一辺×一辺

●ひし形型の公式
対角線×対角線÷2

円との融合問題では、この2つの式を活用します。

円と正方形の位置関係

正方形と円の位置は「外接」と「内接」の2種類があります。

外接(円)

正方形の角に接するように、円が正方形の外側にある場合

図のように、半径が分からなくても正方形の一辺が分かれば、「半径×半径」は分かります。

内接(円)

正方形の一辺に接するように、円が正方形の内側にある場合

こちらも、半径が分からなくても正方形の対角線が分かれば「半径×半径」は分かります。

円の面積を求める

「円の面積=半径×半径×3.14」ですが、出題される問題では円の半径が分かりません。

しかし先程の「ひし形としての正方形」で出てきた考え方を使うと、半径そのものは分からなくても「半径×半径」は求められるので、円の面積を求めることができるのです。

図1:

説明書き

確認テスト

(2021.3.22作成中)

バナナ(レンズ)形

下図のような形

(バナナ図)(レンズ図)

これらは上の「外接円」から正方形を引いた形を1/4または1/2したもの。よく出てくるので面積を求めておく。

バナナ型の求め方(半径が1の場合)

((図))

バナナ型=(半径1の円の面積-正方形(対角線が2のひし形)の面積)×1/4=(1×1×3.14-2×2×1/2)×1/4=(3.14-2)×1/4=1.14×1/4=0.285 になります。

つまりバナナ型一つを正方形に入れた図にした場合、正方形の面積が1なのでバナナ型は「正方形の面積×0.285」になります。

(図)

レンズ形はバナナ形2つ分なので「正方形の面積×0.285×2=正方形の面積×0.57」になる。一部のテキストや参考書ではこの数値を暗記させるようだ。

個人的には、バナナ形を「(3.14-2)×1/4」で憶えておくのが良い気がするが…

 

ブーメラン型

下図のような形

(図)

これは、正方形から「内接円」を引いた形を1/4したもの。

ブーメラン形の求め方(半径が1の場合)

((図))

ブーメラン形=(一辺2の正方形の面積-半径1の円の面積)×1/4=(2×2-1×1×3.14)×1/4=(4-3.14)×1/4=0.86×1/4=0.215 になります。

つまりブーメラン形一つを正方形に入れた図にした場合、正方形の面積が1なのでバナナ型は「正方形の面積×0.215」になります(正方形の面積の半分0.5からバナナ形0.285を引いたのと等しい)。

これも、忘れても復元できるように「(4-3.14)×1/4」で憶えておくのが良い気がします

円と正方形の「差」図形

●バナナ形
=(外接円-正方形(ひし形))×1/4
=(3.14-2)×1/4=正方形の面積の0.285倍

○レンズ形(バナナ×2)
=正方形の面積の0.57倍

●ブーメラン形
=(正方形-内接円)×1/4
=(4-3.14)×1/4=正方形の面積の0.215倍

計算の工夫

試しに、下の図の斜線部の面積と周りの長さを求めてみる。

面積を求める

面積を出す場合は一部の形を移動すると単純な形に出来ることが多い

 

周りの長さを求める

周りの長さを求める場合は、半径が違う円にまとめていき、3.14の計算を1回だけにするとミスが減る

 

円と正方形の問題例

以上に注意して、問題を解いてみる

 

 

 

 

円おうぎと多角形全般

 

 

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