多角形とは
基本的な図形のうち、(直線状の)辺と頂点のみで出来ている図形です。
簡単に考えると、「円」や「おうぎ形」のような曲線がある図形を除いた図形です
今まで学習してきた「三角形」「(正)(長)方形」「四角形(台形・平行四辺形・ひし形)」はもちろん多角形です。
それ以外にも五角形・六角形や
((図))
星型や、言い表せない形(自己交叉多角形)などがあります。
((図))
多角形の角度
内角
このように、N角形の内角の和は180×(N-2)です。
外角
このように、多角形の外角の和は角の数(N)に関係なく常に360°です。
多角形の対角線
対角線
対角線は、ある角と別の角を結んだ線です。
((対角線の例))
但し、隣り合う角とは作れません。辺になってしまいます。
((ダメな例))
対角線の本数の公式
四角形、五角形くらいなら対角線の本数は数えれば分かりますね
((四角形五角形の対角線の図))
四角形では2本、五角形では5本あります。
しかし、十角形や十二角形の対角線となると数えるのはちょっと無理
((十角形・十二角形の対角線の図))
そこで、N角形の対角線の本数を公式にしてみましょう。
数え方
例えば五角形の場合、一つの頂点から自分と両隣の3点以外つまり5-3=2点に向けて対角線を引けます
同様に他の頂点からも2本づつ対角線を引けるので
合計2×5=10本の線が引けますが…合わせてみると
同じ線を2回づつ引いているのが分かります。
よって最後に÷2しないといけません。
結局、五角形の対角線は(5-3)×5÷2で5本となりました。
自分と両隣の3点以外の2点に線を引く
引いているので
5本になる
公式化
このように、N角形の対角線の本数は N×(N-3)÷2 で求められる
N角形の対角線の本数＝N×(N-3)÷2 本
(理由)
それぞれの頂点N個から
自分と両隣の3点以外の(N-3)個の頂点に線を引き
2回ずつ数えているので÷2する
(例1)5角形の場合～5×(5–3)÷2=5本
(例2)10角形の場合～10×(10–3)÷2=35本
多角形の分割
面積が等しい部分に分けてみる
三角形
方形
平行四辺形
六角形
六角形の分割は入試でよく出るので、受験生は小4の間に憶えて書けるようにしておきましょう
ニ等分
三等分
六等分
それ以上
十二等分や十八等分があります。
((図))
星形多角形
角度を求める問題です。
解法
三角形を利用
外角を利用
組み合わせ
交叉型の星形
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