[作成中]旅人算と比のまとめ

中学受験生では多くの人が「旅人算と比」が苦手だと思いますが、入試でも問われる範囲なので、基本問題は最低でも解けるようにしておくべきですね。

目次をクリックすると読みたい箇所にジャンプできます。

スポンサーリンク

前提になる事柄

「旅人算と比」は中学受験の算数で一番難しい分野だと思います。

その理由は、前提となる色々な事柄をマスターしていないと「旅人算と比」を理解すらできなからです。

そこで前提となる事柄を確認します。

旅人算

 

旅人算の図
出会い
離れていた2人が出会う
&
追い付き

離れていた一方に他方が追いつく

出会いの旅人算

出会う時間

旅人算(出会い)の公式

❶出会う時間=2人の距離÷速さの和

②2人の距離=速さの和×出会う時間

③速さの和=2人の距離÷出会う時間

追い付きの旅人算

 

旅人算(追い付き)の公式

❶出会う時間=2人の距離÷速さの差

②2人の距離=速さの差×出会う時間

③速さの差=2人の距離÷出会う時間

円周上の旅人算

1回目の出会い・追い付きは直線に直して計算し、出会いや追い付きの「周期」を求めます。

2回目以降の出会い・追い付きは「周期」を使ってときます。

 

 

 

速さと比

2つの場合を比べます。

2つの場合で速さが同じ場合→時間が倍になると進む道のりも倍になる(時間の比=道のりの比)

2つの場合で時間が同じ場合→速さが倍になると進む道のりも倍になる(速さの比=道のりの比)

2つの場合で道のりが同じ場合→速さが倍になるとかかる時間は半分倍になる(速さの比と時間の比は逆)

 

前提となる事柄の確認が終了したので、いよいよ「旅人算と比」を始めます。

直線上の旅人算と比

まず直線上の旅人算と比です。

出会う場合

例えば「速さ3:5のAとBが2地点XとYから向かい合って同時に出発します。二人は12分後に出会い、その後もYとXに到着するまで進む」場合を考えます。

出会うまで

AB2人は出発してから出会うまで進む時間は等しいので、これは「速さと比」の”時間が等しい”パターンです。

つまりAとBが進む道のりの比は速さと同じ3:5になるので、XY間を3:5に分ける地点(Z)で出会います。XY全体は8になる。

出会ってから

一度出会った後はABどちらか一方の行動に注目し、さっき分かった3:5を使っていろいろな時間を明らかにします。

Aに注目

Aに注目すると、AはXを出発して全体の3/8のZでBと出会い、その後残り5/8を進んでYに到着します。

これは「速さと比」の”速さが等しい”場合なので、XZ:YZの道のりの比とかかる時間の比が等しくなります。

かかる時間の比は道のりと同じくも3:5になり、3=12分なので、5=20分と分かります。

結局、AはXを出発して12分後にZでBと出会いその20分後(出発から32分後)にYに着くと分かりました。

Bに注目

Bに注目すると、BはYを出発して全体の5/8のZでAと出会い、その後残り3/8を進んでAに到着します。

かかる時間の比は道のりと同じく5:3になり、5=12分なので、3=7.2分と分かります。

結局、BはYを出発して12分後にZでAと出会いその7.2分後(出発から19.2分後)にYに着くと分かりました。

追いつく場合

例えば、

 

追いつくまで

 

追いついてから

 

Aに注目

 

Bに注目

 

円周上の旅人算と比

考え方

(比の無い)円周上の旅人算と同様に、1回目の出会い追い付きは直線に直して計算し「周期」を出して、2回目以降の出会い追い付きは「周期」を使って求めます。

円周旅人算(出会い)と比

前置の文章

2-1:旅人算(円周出会い)と比
公園の周りを走るのに28分かかるXと21分かかるYが同地点から反対方向に出発する。以下の問いに答えなさい。

まず直線に直して「出会いの周期」を出します。
XとYの速さの比は?
時間の比が28:21=4:3なので、速さの比は逆比で3:4になる。
図1
切り捨て→切り上げの順に出す
3:4
Xから見て、最初に出会う地点は道のり全体の何分のいくつか?
図1
切り捨て→切り上げの順に出す

1回目の出会いなので直線に直して考える。

時間が等しいパターンの図を書くと、XとYがそれぞれ3:4進んだ地点Z1で出会う。これはXからみると全体の3/7になる。

37
最初の出会いは何分後か?
図1
切り捨て→切り上げの順に出す

Xの行動に注目する。

一周回るのに28分かかっているので、一周の3/7にあたるスタートからZ1までは28×3/7=12分かかると分かる。

12
ここまでで分かった事をまとめます。出会いの周期は12分。
Xは一周の3/7、Yは一周の4/7進むたびに出会う。

この先はこの「周期」を利用します。

最初の出会いと2回目の出会いの場所は600m離れていた。一周の長さは何mか?
図1
切り捨て→切り上げの順に出す

遅い方、ここではXに注目する。

最初の出会いから2回目の出会いまでに全体の3/7進む。

これが600mにあたるから、一周は600÷3/7=1400mと分かる。

1400m
2人がはじめてスタート地点で出会うのは何分後か?
図1
切り捨て→切り上げの順に出す

Xは➂進むごとにYと出会い、一周は➆なので、➂と➆の最小公倍数㉑進むとちょうどスタート地点でYと出会う。

Xは一周➆を進むのに28分かかるので、㉑を進むのには28×㉑/➆=84分かかる。

84分後

 

円周旅人算(追い付き)と比

前置の文章

2-2:(タイトル)
大問の設問文章。大問の設問文章。大問の設問文章。大問の設問文章。大問の設問文章。大問の設問文章。

大問のヒントは「Lq-txt」内に入れて「hnt」divで囲む。
例題の小問は基本的に幅広「S-qst W」を使用。小問の設問文章。小問の設問文章。
文章は「txt」divに入れる
図1
切り捨て→切り上げの順に出す
文字を一段組にするときは、文字は「txt W」divで囲む。解説の文章。解説の文章。解説の文章。
175
例題の小問は基本的に幅広「S-qst W」を使用。小問の設問文章。小問の設問文章。
文章は「txt」divに入れる
図1
切り捨て→切り上げの順に出す
文字を一段組にするときは、文字は「txt W」divで囲む。解説の文章。解説の文章。解説の文章。
175
例題の小問は基本的に幅広「S-qst W」を使用。小問の設問文章。小問の設問文章。
文章は「txt」divに入れる
図1
切り捨て→切り上げの順に出す
文字を一段組にするときは、文字は「txt W」divで囲む。解説の文章。解説の文章。解説の文章。
175
例題の小問は基本的に幅広「S-qst W」を使用。小問の設問文章。小問の設問文章。
文章は「txt」divに入れる
図1
切り捨て→切り上げの順に出す
文字を一段組にするときは、文字は「txt W」divで囲む。解説の文章。解説の文章。解説の文章。
175

 

 

往復の旅人算と比

 

 

中学受験でお悩みの方へ

爽茶そうちゃ
いつもお子さんのためにがんばっていただき、ありがとうございます。
受験に関する悩みはつきませんね。
「中学受験と高校受験とどちらがいいの?」「塾の選び方は?」「途中から塾に入っても大丈夫?」「塾の成績・クラスが下がった…」「志望校の過去問が出来ない…」など
様々なお悩みへのアドバイスを記事にまとめたので参考にして下さい。

もしかしたら、自分だけで悩んでいると煮詰まってしまい、事態が改善できないかもしれません。講師経験20年の「そうちゃ」に相談してみませんか?ツイッターメールでの無料相談を受け付けているので、ご利用下さい。

最後まで読んでいただきありがとうございました♪この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです!
タイトルとURLをコピーしました