中学受験生では多くの人が「旅人算と比」が苦手だと思いますが、入試でも問われる範囲なので、基本問題は最低でも解けるようにしておくべきですね。
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前提になる事柄
「旅人算と比」は中学受験の算数で一番難しい分野だと思います。
その理由は、前提となる色々な事柄をマスターしていないと「旅人算と比」を理解すらできなからです。
そこで前提となる事柄を確認します。
旅人算
速
出会いの旅人算
出会う時間
❶出会う時間=2人の距離÷速さの和
②2人の距離=速さの和×出会う時間
③速さの和=2人の距離÷出会う時間
追い付きの旅人算
❶出会う時間=2人の距離÷速さの差
②2人の距離=速さの差×出会う時間
③速さの差=2人の距離÷出会う時間
円周上の旅人算
1回目の出会い・追い付きは直線に直して計算し、出会いや追い付きの「周期」を求めます。
2回目以降の出会い・追い付きは「周期」を使ってときます。
比
速さと比
2つの場合を比べます。
2つの場合で速さが同じ場合→時間が倍になると進む道のりも倍になる(時間の比=道のりの比)
2つの場合で時間が同じ場合→速さが倍になると進む道のりも倍になる(速さの比=道のりの比)
2つの場合で道のりが同じ場合→速さが倍になるとかかる時間は半分倍になる(速さの比と時間の比は逆)
前提となる事柄の確認が終了したので、いよいよ「旅人算と比」を始めます。
直線上の旅人算と比
まず直線上の旅人算と比です。
出会う場合
例えば「速さ3:5のAとBが2地点XとYから向かい合って同時に出発します。二人は12分後に出会い、その後もYとXに到着するまで進む」場合を考えます。
出会うまで
AB2人は出発してから出会うまで進む時間は等しいので、これは「速さと比」の”時間が等しい”パターンです。
つまりAとBが進む道のりの比は速さと同じ3:5になるので、XY間を3:5に分ける地点(Z)で出会います。XY全体は8になる。
出会ってから
一度出会った後はABどちらか一方の行動に注目し、さっき分かった3:5を使っていろいろな時間を明らかにします。
Aに注目
Aに注目すると、AはXを出発して全体の3/8のZでBと出会い、その後残り5/8を進んでYに到着します。
これは「速さと比」の”速さが等しい”場合なので、XZ:YZの道のりの比とかかる時間の比が等しくなります。
かかる時間の比は道のりと同じくも3:5になり、3=12分なので、5＝20分と分かります。
結局、AはXを出発して12分後にZでBと出会いその20分後(出発から32分後)にYに着くと分かりました。
Bに注目
Bに注目すると、BはYを出発して全体の5/8のZでAと出会い、その後残り3/8を進んでAに到着します。
かかる時間の比は道のりと同じく5:3になり、5=12分なので、3＝7.2分と分かります。
結局、BはYを出発して12分後にZでAと出会いその7.2分後(出発から19.2分後)にYに着くと分かりました。
追いつく場合
例えば、
追いつくまで
追いついてから
Aに注目
Bに注目
円周上の旅人算と比
考え方
(比の無い)円周上の旅人算と同様に、1回目の出会い追い付きは直線に直して計算し「周期」を出して、2回目以降の出会い追い付きは「周期」を使って求めます。
円周旅人算(出会い)と比
前置の文章
1回目の出会いなので直線に直して考える。
時間が等しいパターンの図を書くと、XとYがそれぞれ3:4進んだ地点Z1で出会う。これはXからみると全体の3/7になる。
Xの行動に注目する。
一周回るのに28分かかっているので、一周の3/7にあたるスタートからZ1までは28×3/7=12分かかると分かる。
Xは一周の3/7、Yは一周の4/7進むたびに出会う。
この先はこの「周期」を利用します。
遅い方、ここではXに注目する。
最初の出会いから2回目の出会いまでに全体の3/7進む。
これが600mにあたるから、一周は600÷3/7=1400mと分かる。
Xは➂進むごとにYと出会い、一周は➆なので、➂と➆の最小公倍数㉑進むとちょうどスタート地点でYと出会う。
Xは一周➆を進むのに28分かかるので、㉑を進むのには28×㉑/➆=84分かかる。
円周旅人算(追い付き)と比
前置の文章
往復の旅人算と比
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