中学受験生では多くの人が「旅人算と比」が苦手だと思いますが、入試でも問われる範囲なので、基本問題は最低でも解けるようにしておくべきですね。
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前提になる事柄
「旅人算と比」は中学受験の算数で一番難しい分野だと思います。
その理由は、前提となる色々な事柄をマスターしていないと「旅人算と比」を理解すらできなからです。
そこで前提となる事柄を確認します。
旅人算
出会いの旅人算
出会う時間
❶出会う時間=2人の距離÷速さの和
②2人の距離=速さの和×出会う時間
③速さの和=2人の距離÷出会う時間
追い付きの旅人算
❶出会う時間=2人の距離÷速さの差
②2人の距離=速さの差×出会う時間
③速さの差=2人の距離÷出会う時間
円周上の旅人算
1回目の出会い・追い付きは直線に直して計算し、出会いや追い付きの「周期」を求めます。
2回目以降の出会い・追い付きは「周期」を使ってときます。
比
速さと比
2つの場合を比べます。
2つの場合で速さが同じ場合→時間が倍になると進む道のりも倍になる(時間の比=道のりの比)
2つの場合で時間が同じ場合→速さが倍になると進む道のりも倍になる(速さの比=道のりの比)
2つの場合で道のりが同じ場合→速さが倍になるとかかる時間は半分倍になる(速さの比と時間の比は逆)
前提となる事柄の確認が終了したので、いよいよ「旅人算と比」を始めます。
直線上の旅人算と比
まず直線上の旅人算と比です。
出会う場合
例えば「速さ3:5のAとBが2地点XとYから向かい合って同時に出発します。二人は12分後に出会い、その後もYとXに到着するまで進む」場合を考えます。
出会うまで
AB2人は出発してから出会うまで進む時間は等しいので、これは「速さと比」の”時間が等しい”パターンです。
つまりAとBが進む道のりの比は速さと同じ3:5になるので、XY間を3:5に分ける地点(Z)で出会います。XY全体は8になる。
出会ってから
一度出会った後はABどちらか一方の行動に注目し、さっき分かった3:5を使っていろいろな時間を明らかにします。
Aに注目
Aに注目すると、AはXを出発して全体の3/8のZでBと出会い、その後残り5/8を進んでYに到着します。
これは「速さと比」の”速さが等しい”場合なので、XZ:YZの道のりの比とかかる時間の比が等しくなります。
かかる時間の比は道のりと同じくも3:5になり、3=12分なので、5＝20分と分かります。
結局、AはXを出発して12分後にZでBと出会いその20分後(出発から32分後)にYに着くと分かりました。
Bに注目
Bに注目すると、BはYを出発して全体の5/8のZでAと出会い、その後残り3/8を進んでAに到着します。
かかる時間の比は道のりと同じく5:3になり、5=12分なので、3＝7.2分と分かります。
結局、BはYを出発して12分後にZでAと出会いその7.2分後(出発から19.2分後)にYに着くと分かりました。
追いつく場合
例えば、
追いつくまで
追いついてから
Aに注目
Bに注目
ダイヤグラムの利用
分からないことが多い場合(特に速さの比が分からない場合)は状況図を書いても解くのが難しいです。
ダイヤグラムを書き、相似の図形問題として解くと簡単に解けることが多いです。
Z-1:ダイヤグラムの利用
(解説)
兄と弟の速さの比も時間の比も分かりません…
このような時はとりあえずダイヤグラムを書いてみます。
ダイヤグラム上に出来る「2:3の砂時計型の相似」を出来ていることに気付きます。
これを利用すると、兄と弟の出発の時間差3の値が9分と分かります。
ちなみに、状況図を丁寧に書いても解けますが、正直、面倒くさいです。
問題文を読んで「？」が頭をよぎったら、迷わずダイヤグラムを書きましょう！
円周上の旅人算と比
考え方
(比の無い)円周上の旅人算と同様に、1回目の出会い追い付きは直線に直して計算し「周期」を出して、2回目以降の出会い追い付きは「周期」を使って求めます。
円周旅人算(出会い)と比
2-1:旅人算(円周出会い)と比
(解説)
まず直線に直して「出会いの周期」を出します。
時間の比が28:21=4:3なので、速さの比は逆比で3:4になる。
(解説)
1回目の出会いなので直線に直して考える。
時間が等しいパターンの図を書くと、XとYがそれぞれ3:4進んだ地点Z1で出会う。これはXからみると全体の3/7になる。
(解説)
Xの行動に注目する。
一周回るのに28分かかっているので、一周の3/7にあたるスタートからZ1までは28×3/7=12分かかると分かる。
(周期の利用)
ここまでで分かった事をまとめます。
●2人は12分ごとに出会う。これが出会い時間の周期
●Xは一周の37、Yは一周の47進むたびに出会う。これが出会い場所の周期
この先はこの「周期」を利用します。
遅い方、ここではXに注目する。
最初の出会いから2回目の出会いまでに全体の3/7進む。
これが600mにあたるから、一周は600÷3/7=1400mと分かる。
Xは➂進むごとにYと出会い、一周は➆なので、➂と➆の最小公倍数㉑進むとちょうどスタート地点でYと出会う。
Xは一周➆を進むのに28分かかるので、㉑を進むのには28×㉑/➆=84分かかる。
確認テスト
作成中
円周旅人算(追い付き)と比
確認テスト
作成中
円周上の異なる点から出発する問題
2人が円周上の異なる点から出発して2回出会うまでの様子から2人の速さや一周するのにかかる時間を求めるこんな問題です。
Z-3:異なる点から出発
円周上に反時計回りに点X,Y,Zがある。AはXからYに向かって、BはYからXに向かって一周する。同時に出発したところ、2人は6分後に初めて出会った。AはBと出会ってから4分後にBを通過し、その20分後にZでBと再び出会った。以下の問いに答えなさい。
速さの比が分かったら、それを使って各地点間の距離を仮に求めてしまうのがコツです。
Z-3:異なる点から出発
解説
1回目の出会いまでのAの行動を追うと、XからBと出会う点(Wとする)まで6分、WからYまで4分なので、XW:WY=③:②と分かります。
XWとWYの長さの比が3:2と分かる
そして出会うまでの6分でAとBが進んだ距離の比もXW:WY=③:②なので、AとBの速さの比も3:2と分かります。
AとBの速さも3:2と分かる
解説
Aの速さを3として距離を計算すると、XW=3×6=18、WY=3×4=12、YZ=3×20=60となります。
XW,WY,YZの長さを出してしまう
一回目の出会いから2回目の出会いまでに2人が進む道のりは3:2です。
出会うまでの距離も3:2
AはWYZの12+60=72(または3×24=72)の距離を進んでいるので、この間にBは2/3の48の距離を進みます。
これで一周の距離が72+48=120と分かります。
一周は120となる
よってAが一周するのには120÷3=40分,Bが一周するのには120÷2=60分と求められます。
確認テスト(2021.3.21作成中)
往復の旅人算と比
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