作成中]すい体の性質まとめ!円すい角すいの体積・表面積など

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円すいの性質と計量

円すいの名称

半径

高さ

母線

円すいの展開図

底面(円)と側面(扇形)の2つのパーツになります。

底面(円)

 

側面(おうぎ形)

円すいの母線を半径とするおうぎ形で、中心角は母線と半径で自動的に決まります。

中心角360=半径母線

この式を記憶した上で、変形した式

扇形の中心角=360×半径母線

この形も覚えておきましょう。

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

半径が3、高さが4の円すいを展開図にした時、側面の扇形の中心角は?→( 円すいの断面の半分が「3:4:5の直角三角形」になるので母線が5になると分かる。側面のおうぎ形の中心角=360×35=210° )

円すいの体積

すいの体積の公式「底面積×高さ×13」の底面積が円になるので

(底円の半径×半径×3.14)×高さ×13

となります。3.14の計算は最後に1回だけ行いましょう。

 

円すいの表面積

円すいを展開してできる2つのパート(底円、側面のおうぎ形)の足し算になります。

底面積=半径×半径×3.14

側面積=母線×母線×3.14×中心角360=半径×母線×3.14

合わせると、円すいの表面積=(半径×半径×3.14)+(半径×母線×3.14)

ここでも3.14の計算は一回だけにしましょう。

確認テスト(作成中)

角すいの性質と計量

角すいの展開図

一般的な展開図

 

特殊な角すいの展開図

正方形になる場合(後述)を覚えておく

 

角すいの体積

すいの体積の公式「底面積×高さ×13」で求められます。

底面積は簡単に求められることが多いのですが、高さははっきり示されていない場合は分からないことも多いです。

角すいの表面積

一般的な角すい

底面は簡単に分かることが多いが、側面積がよく分からないことが多い。

「3:4:5」「5:12:13」などの特殊な数値を使っている場合は求められる。

特殊な角すい

正方形のうち隣り合う二辺の中点を結んだ線と同じ対角にそれぞれ引いた線を折り目にして組み立てると

なんと三角すいができるのですね。

図1:正方形からできる三角すい

底面は二等辺三角形で、高さは二等辺の2倍になる。

この三角すいの表面積は、当然正方形の面積そのものなので簡単に求められます。

利用問題1(斜面Xの面積)

地面に対して斜めになっている面(X)の面積を求める問題です。もともと正方形からできているので、正方形の面積からABCの面積を引けばよいですね。

図の場合、正方形の面積が6×6=36、A=B=3×6÷2=9、C=3×3÷2=92なので、C=36-(9+9+92)=272と分かります。

利用問題2(斜面Xと対する頂点との距離)

入試でよく出るのが「面Xを底面とした時の高さ」や「面ABCが集まる点から面Xに垂直に下ろした線の長さ」です(2つとも同じ長さを聞いています)

斜面と頂点の距離

面X(面積は272)を底面積とした場合の高さに等しい

例1で面Xの面積が272と分かりました。

そして、面Xを底面とした場合の高さを?とすると、体積はどこを底面にしても9cm3で変わらないので、「体積=底面積×高さ×13」の公式を作ると

9=272××13 という式が出来ます。

これを逆算で解いて、?=2 と分かります!

利用問題3(角すい台)

立方体を切断して、この角すいそのもの、あるいは半分の高さで地面と平行に切った下半分(角すい台)を作り、体積や表面積を求める問題。

地面と水平・垂直な面は地道に計算してもよいですが、斜面Xは「相似比と面積比」を使わないと出せません。

例えば半分の高さで切った角すい台の場合、斜面は高さ(長さ)12の上の部分がもとのXの12×12=14倍の大きさなので、下の部分はXの34倍になります。

利用問題4(内接する球)

これは高校受験大学受験の問題ですが、小学生でも解ける問題です。

この角すいをABCXを底面とする三角すい4つに切り分けると、それら三角すいの高さは内接する球の半径Rに等しくなります。

4つのうちの1つ、Aを底面とする切り分けられた三角すいの体積はA×R×1/3になります。

((図がほしいところ…))

したがって、9(もとの角すいの体積)=(A×R×1/3)+(B×R×1/3)+(C×R×1/3)+(D×R×1/3)=(A+B+C+D)×R×1/3 という関係が出来ます。

式を書き直すと、9=(A+B+C+D)×R×1/3 でA+B+C+Dは表面積なので何度も出てきた36です。

つまり 9=36×R×1/3 です。この逆算を解いて、R=3/4 と分かりますね!

すいの加工体

 

 

柱すい加工体

 

 

回転体

回転体の意味

 

単純な回転体

 

複合回転体

 

 

すい体は分かりましたか?立体図形には他にも「立/直方体」「柱体」「」がありますよ。

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