作成中]中学受験】立体の斜め切断の解き方。円(角)柱/立(直)方体を切り分けた形・切り口【応用問題

この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が立体の切断のコツと問題の解き方を分かりやすく説明します。

記事を読んで図を真似しながら問題を解けば「立体の切断」が苦手ではなくなっているでしょう。

立体の水平垂直切断(復習)

柱の水平垂直切断

水平切断

柱を水平(ヨコ)に切断すると、切り口は底面積と同じ形になる

 

切り口より上の部分の体積は、上から測った切った高さが柱全体の高さに占める割合(比)を元の柱にかけた大きさになる

例題

上から1/3の高さで水平に切断すると、切り口より上の部分はもとの体積の1/3に、下の部分は1-1/3よりもとの体積の2/3になる

 

垂直切断

柱を垂直(タテ)に切断すると、切り口は長方形になる

 

体積は底面積を分割したのと同じ比で分けられる

例題

底面積の中心を通るように垂直に切断すると、底面積が1/2になるので、切り分けられた立体も元の柱の1/2になる

詳しくは関連記事「底部比と体積比」を見て下さい

すいの水平垂直切断

水平切断

切り口は底面積を縮小した形(相似形)になる。上から測った切った高さがすい全体の高さに占める割合(比)を2乗(3回かける)した大きさになる

例題

上から1/2の高さで切断した場合、1/2 x 1/2 =1/4より、切り口は底面積の1/4の大きさになる

また、切断面の上の体積は、上から測った切った高さがすい全体の高さに占める割合(比)を3乗(3回かける)した大きさになる

切断面の下の部分は全体から上の部分を引いた大きさになる

例題

上から1/2の高さで切断した場合、切り口より上の部分の体積は1/2 x 1/2 x 1/2 =1/8より、全体の1/8の大きさになる

下の部分の体積は、1-1/8より元のすいの体積の7/8の大きさになる

上と下の体積比「1:7」が重要になる

垂直切断

 

柱の斜め切断

すべての柱の斜め切断

体積の求め方

上下逆さまにした同じ形をつなげると、見慣れた柱の形(もとの柱とは高さが異なる)になり、底面積x高さで求められ、斜めに切断された形はその1/2になる。

例題

 

角柱の斜め切断

体積の求め方

角柱の場合は、上で用いた方法以外にも

「切断された角柱の体積=底面積x高さの平均」

という公式が使える

例題

 

四角柱の高さ

対面する高さのルール

和が等しい

例題

 

方体の斜め切断

立方体・直方体は角柱の一種なので上で用いた2つの方法()が使えるのはもちろんだが、もっと精密な条件の問題がテストでは出題されます。

方体の性質(復習)

 

 

方体の切断ルール

立方体や直方体は直角だけで作られた非常に規則正しい形なので、切断の結果も規則的になります。

平行な面(向かい合う面)では切り口(切断線)も平行になる

色々な切断

切断には大きく分けて3つの場合があるので、優しい順番に説明します。

レベル1

こういう問題です。

 

 

レベル2

こういう問題です

 

 

レベル3

こういう問題です

 

切断して出来る立体

 

 

立体の斜め切断は以上です。お疲れ様でした。

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