この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が立体の切断のコツと問題の解き方を分かりやすく説明します。
記事を読んで図を真似しながら問題を解けば「立体の切断」が苦手ではなくなっているでしょう。
目次(クリックでジャンプ)
立体の水平垂直切断(復習)
柱の水平垂直切断
水平切断
柱を水平(ヨコ)に切断すると、切り口は底面積と同じ形になる
切り口より上の部分の体積は、上から測った切った高さが柱全体の高さに占める割合(比)を元の柱にかけた大きさになる
例題
上から1/3の高さで水平に切断すると、切り口より上の部分はもとの体積の1/3に、下の部分は1-1/3よりもとの体積の2/3になる
垂直切断
柱を垂直(タテ)に切断すると、切り口は長方形になる
体積は底面積を分割したのと同じ比で分けられる
例題
底面積の中心を通るように垂直に切断すると、底面積が1/2になるので、切り分けられた立体も元の柱の1/2になる
詳しくは関連記事「底部比と体積比」を見て下さい
すいの水平垂直切断
水平切断
切り口は底面積を縮小した形(相似形)になる。上から測った切った高さがすい全体の高さに占める割合(比)を2乗(3回かける)した大きさになる
例題
上から1/2の高さで切断した場合、1/2 x 1/2 =1/4より、切り口は底面積の1/4の大きさになる
また、切断面の上の体積は、上から測った切った高さがすい全体の高さに占める割合(比)を3乗(3回かける)した大きさになる
切断面の下の部分は全体から上の部分を引いた大きさになる
例題
上から1/2の高さで切断した場合、切り口より上の部分の体積は1/2 x 1/2 x 1/2 =1/8より、全体の1/8の大きさになる
下の部分の体積は、1-1/8より元のすいの体積の7/8の大きさになる
上と下の体積比「1:7」が重要になる
垂直切断
柱の斜め切断
すべての柱の斜め切断
体積の求め方
上下逆さまにした同じ形をつなげると、見慣れた柱の形(もとの柱とは高さが異なる)になり、底面積x高さで求められ、斜めに切断された形はその1/2になる。
例題
角柱の斜め切断
体積の求め方
角柱の場合は、上で用いた方法以外にも
「切断された角柱の体積=底面積x高さの平均」
という公式が使える
例題
四角柱の高さ
対面する高さのルール
和が等しい
例題
方体の斜め切断
立方体・直方体は角柱の一種なので上で用いた2つの方法()が使えるのはもちろんだが、もっと精密な条件の問題がテストでは出題されます。
方体の性質(復習)
方体の切断ルール
立方体や直方体は直角だけで作られた非常に規則正しい形なので、切断の結果も規則的になります。
平行な面(向かい合う面)では切り口(切断線)も平行になる
色々な切断
切断には大きく分けて3つの場合があるので、優しい順番に説明します。
レベル1
こういう問題です。
レベル2
こういう問題です
レベル3
こういう問題です
切断して出来る立体
立体の斜め切断は以上です。お疲れ様でした。
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