[作成中]中学受験】動く図形(面)の問題まとめ【

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。

記事を真似して例題を解けば、図形の移動が苦手ではなくなっているでしょう。

点と線と移動(復習)

「平面の移動」に関する問題の半分以上は「点の移動」や「線の移動」の問題なので、それらを軽く復習します。

点の移動

 

 

線の移動

 

以上がよく分からない・忘れたという人は関連記事「点の移動」「線の移動」を見るとよいかもしれません

多角形の平行移動

例として、下図のような三角形ABCを移動させて➀頂点A②辺BC➂台形そのものを右に○cm平行移動させたあと(軌跡)を出しましょう

((図))

頂点の移動

「点の移動」です。

AはA’まで移動するので、動いたあと(軌跡)は○cmの直線になる。

((図))

辺の移動

「線の移動」です。

BCはB’C’まで移動するので、動いたあと(軌跡)は平行四辺形になる。

((図))

軌跡の面積は○×●=⦿cm²になる。

((図))

面の移動

まず移動した形A’B’C’を書いてみます。

頂点ABCDはA’B’C’D’に動きます。この時全部の点を移すよりは、一点CをC’に移動してからC’を基準に同じ形を書くつもりでA’B’を書くのが簡単です。

((図))

移動したあと(軌跡)は横に長い台形になっています。

((図))

この軌跡の面積は(●+◎)×■÷2=⦿cm²と分かります。

重なる部分の面積

今度はABCが毎秒1cm/秒の速さで右に動く時、長方形PQRSと重なる部分の面積を求めます。

時間を指定された場合

例えば○秒後の重なった部分の面積を求める場合です。

CをC’に移動させ、そこからA’B’を書きます。

((図))

重なった部分は台形になっています。

((図))

面積は　と計算できます。

面積を指定された場合

例えば面積が○cm²になるのは何秒後かと聞かれた場合です。面倒な問題です！

まず、時間の変化と面積の変化の「おおよその見当」をつけます。

Cが長方形と重なる時刻を書き込みます。

ABが長方形と離れる時刻を書き込みます。

おおよその変化をイメージします。

((グラフ))

これで○秒から○秒の間を調べれば良いと分かります。

重なり具合を書きます。

点Cの移動距離が●cmと分かるので、求める時刻は●÷2＝⦿秒後と分かります。

 

多角形の回転移動

例として三角形ABCをCを中心に90°回転させたときの➀頂点A②辺AB➂三角形全体の動いたあと(軌跡)を書いてみましょう。

頂点の移動

Cを中心にしたAの「点の回転移動」です。一回転ではなく90°なので軌跡は扇形の弧になります。

((図))

軌跡は半径 cm、中心角90°の扇形の弧なので、その長さは　cmになります。

((図))

辺の移動

Cを中心にしたABの「線の回転移動」です。線の回転移動は「中心から一番近い点」と「中心から一番遠い点」の2つを回転させたのを思い出してください。

この問題ではBが近い点でAが遠い点なのでABを回転させれば良いと分かります。

((図))

ABを90°回転させたA’B’を書くと移動したあと(軌跡)の形が分かりました。

((図))

点Bの軌跡を伸ばして、線ABの軌跡の一部を移すと、単純なバームクーヘン型になりました♪

((図))

軌跡は半径 cm、中心角90°の扇形から半径 cm、中心角90°の扇形を引いたものです。

軌跡の面積は　cmになります。

((図))

 

三角形の移動

「面の移動」は実は簡単なことが多いです。

まず移動した形A’B’C’を書いてみます。

点BをB’に移動してからB’Cを基準にA’を書くのが簡単です。

((図))

移動したあと(軌跡)をよく見ると、90°の扇形にもとの三角形ABCを足した形になっています。

((図))

軌跡の面積は cm²と分かります。

 

多角形の転がり移動

 

 

円の平行移動

 

軌跡の両端は半円に、中間部分は長方形になり、両端を合わせると元の円と等しくなる。

軌跡の面積=(半径×半径×3.14)+(移動距離×直径)

円の転がり移動

移動の特徴

中心は移動線と平行に動く

 

 

多角形の外側を移動

円の中心が通ったあとの長さ

 

円が通ったあとの面積

 

多角形の内側を移動

円の中心が通ったあとの長さ

 

円が通ったあとの面積

 

円が通らなかった部分の面積

 

 

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